模型范畴
在数学、尤其是同伦论中，模型范畴是带有弱等价、纤维化和上纤维化这三类态射的范畴，是从传统的拓扑空间或链复形的同倫範疇（即导出范畴）中抽象化得来。模型范畴的概念最初由丹尼尔·奎伦引入。 近年来，模型范畴的语言应用到了代数K理论和代数几何的部分研究中。在这些分支中，使用同伦论的研究方法得出过深刻的结果。 动机 模型范畴提供了研究同伦论的一个自然的环境：拓扑空间的范畴就是一个模型范畴，其中同伦正是一般意义上的同伦。相似地，许多可以视为拓扑空间…
标签：#同伦论
共 29 篇文章
单纯集合
数学裡，单纯集合（）是范畴同伦论中一个构造，这是“良态”拓扑空间的一个纯代数模型。历史上，这个模型源自组合拓扑学特别是单纯复形。 引言 拓扑空间可从单形以及它们的接合关系（或准确地说表示为差一个同伦）构造出来，单纯集合是抓住这一点的范畴（即纯代数）模型。这类似于拓扑空间的 CW复形模型，本质区别是单纯集合是纯代数的，本身不带任何拓扑（这在给出正式定义后将见到）。 为了得到真正的拓扑空间，有一个几何实现函子，取值于紧生成豪斯多夫空间范畴。…
可收缩空间
若拓扑空间X上的恒等映射是零伦的（即与某常数映射同伦），则称拓扑空间是可收缩空间。直观地说，可收缩空间就是可以不断收缩到某点的空间。 性质 可收缩空间是具有点的同伦类的空间；可见，可收缩空间的所有同伦群都是平凡群。因此，任何具有非平凡同伦群的空间都不可收缩；由于奇异同调是同伦不变量，因此可收缩空间的既约同调群都是平凡的。 对拓扑空间X，下面这些情况等价： *X是可收缩的（即恒等映射零伦） *X与单点空间同伦等价 *X可收缩到一点上（不过…
艾伦伯格–麦克莱恩空间
数学中，特别是代数拓扑中，艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有单一非平凡同伦群的拓扑空间。 令G为群，n为正整数。连通拓扑空间X的第n同伦群\pi_n(X)若同构于G、其他同伦群都平凡，则称X是K(G,n)型艾伦伯格–麦克莱恩空间。设G在n > 1时是阿贝尔群，则K(G,n)型艾伦伯格–麦克莱恩空间总存在，且都是弱同伦等价的。因此，可以认为K(G,n)指空间的弱同伦等价类。通常将任何表示称作“一个K(G,n)”或“K(G,n)的模型”，此外通常…
纤维丛
纖維-{}-叢（ ），在数学上，特别是在拓扑学中，是一个局部看来像直积空间，但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛對應一个连续满射 \pi :E\rightarrow B E和乘積空間B\times F的局部類似性可以用映射 \pi 來說明。也就是說：在每個E的局部空間 U，都存在一個相同的F（F稱作纖維空間），使得 \pi 限制在 U 上時 與直积空间B\times F的投影P:B\times F\mapsto B,\quad P(b,…
基本群
在代數拓撲中，基本群（或稱龐加萊群）是一個重要的同倫不變量。拓撲空間的基本群的元素是该空间中从某一點出发的環路的同倫等價類; 基本群的群運算是環路的同倫等价类的銜接运算。拓扑空间的基本形状, 或者孔洞的信息都可以在它的基本群中体现。所以基本群能用以研究兩個空間是否同胚，两个同胚的空间的基本群是同構的, 基本群也能分類一個連通空間的覆疊空間。关于拓扑空间X 的基本群的符号是\pi_1(X)。 基本群的推廣之一是同倫群。基本群是最初和最简单…
单值性
的虚部。在\mathbb{C}\backslash \{0\}上定义复对数，会沿不同路径得到不同答案。这就产生了无限循环单值群，以及\mathbb{C}\backslash \{0\}的螺旋曲面（黎曼曲面之一）覆盖。]] 数学中，单值性（monodromy）研究的是数学分析、代数拓扑、代数几何与微分几何中的对象在“绕着奇点旋转”时的行为。这个领域同覆叠映射及其到分歧的退化密切相关。引发单值现象的方面是，我们想定义一个绕奇点旋转时不保持单…
广群
在数学中，尤其在范畴论和同伦论中，广群（groupoid，或勃兰特广群，Brandt groupoid）是对群的概念的抽象化。广群可被视为： 以偏函数取代二元运算的群； 所有态射都可逆的范畴。这一类范畴可被视作增加了一种一元运算，与群论中的逆元相对应。 只有一个对象的广群一般是群。 在存在依赖类型的情况下，一般来说，一个范畴可视作是类型化的幺半群；广群也可简单视作类型化的群。对象到对象的态射形成类型的依赖族，于是态射可以是类型化的g:A…
CW复形
CW复形，又称胞腔复形，在拓扑学上屬於拓扑空间之一類，由J.H.C.怀特海德引入，用于同伦理论。其思想是构造一类空间，比单纯复形更为广泛（我们现在可以说，有更好的范畴论属性）；但还要保留组合的本质，因此计算方面的考虑没有被忽略。 形式表述 粗略地说，CW复形由称作胞腔的基本元件组成。其精确定义规定胞腔如何在拓扑意义上“粘合”。CW复形名称中的“C”代表“闭有限”（），而“W”则代表“弱拓扑”（）。 单个 n 维闭胞腔是指 n 维闭球在贴…
A无穷代数
A无穷代数（，或 \;A_{\infty}\;-algebra）是吉姆·斯塔谢夫（）在1960年代研究H-空间的乘法的结合性时发现的一种代数结构，又称为强同伦结合代数（）。1970年代陈国才（K.-T. Chen）和T.V. Kadeishvili在一个流形的同调群上用不同的方法各自发现了一种A无穷代数结构。1990年代深谷贤治在研究辛流形的拉格朗日Floer同调（）时推广了斯塔谢夫的概念，称为A无穷范畴（，\;A_{\infty}\;…
霍普夫不变量
在数学特别是代数拓扑学中，霍普夫不变量（）是球面之间某些映射的一个同伦不变量。 toc 历史 1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行（）构造了霍普夫映射 \eta\colon S^3 \to S^2，并通过利用圆周 \eta^{-1}(x),\eta^{-1}(y) \subset S^3 对任意 x \neq y \in S^2 的环绕数（=1），证明了 \eta 是本质的，即不同伦于常值映射。随后证明了同伦群 \pi_3(S^2)…
线丛
数学中，线丛（line bundle）表达了空间中在点之间变化的直线的概念。例如，平面中的曲线在每一点都有一条切线，这就确定了一条变化的直线：切丛是组织它们的一种方式。代数拓扑和微分拓扑中，线丛更正式的定义是秩为1的向量丛。 为空间中的每一点连续地选择一个1维向量空间，便确定了线丛。在拓扑学的应用中，这个向量空间通常是实或复的，而由于实向量空间与复向量空间的拓扑性质不同，两种选择将表现出根本上不同的行为：剔去实数线上的原点，就得到可逆1…
丹尼斯·蘇利文
丹尼斯·帕內爾·蘇利文（，），美國數學家。他在拓扑學（代數拓扑及幾何拓扑）以及動力系統理論方面的研究頗有建樹。他是紐約市立大學研究生院的阿爾伯特·愛因斯坦講座教授，也是紐約州立大學石溪分校的教授，2022年获得阿贝尔奖。 拓扑學方面的工作 他在1963年從萊斯大學數學系畢業，1966年在普林斯頓大學獲得數學博士學位。他的博士論文《Triangulating Homotopy Equivalences》是在指導下完成的。1974至1977…
同倫
同伦（）在數學和拓撲學上描述了兩個對象間的「連續變化」。两个定义在拓扑空间之间的连续函数，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同倫群和的定义，它们是代数拓扑中重要的。 事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或。 定义 映射到R3的嵌入之间的同伦：“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕的例子。…
阻碍理论
在数学中，阻碍理论（）是两个不同数学理论的名字，两者都导出了上同调不变量。 同伦理论 阻碍理论在同伦论中的早期含义是关于将定义在一个单纯复形或CW-复形上的连续映射对维数归纳延拓的一个手续。传统上称为艾伦伯格阻碍理论（），得名于塞缪尔·艾伦伯格命名。它用系数取值于同伦群得上同调群来定义延拓的阻碍。例如，有一个从单纯复形X到另一个Y的映射，首先定义在X的0-骨架（X的顶点），只要Y 道路连通则总可延拓到1-骨架。由1-骨架延拓到2-骨架意…
准范畴
在数学的分支范畴论中，准范畴（或称弱Kan复合体、内Kan复合体、无限范畴、∞-范畴、博德曼复合体）是对范畴概念的一个概括，对这种概括的研究即高阶范畴。 准范畴是由提出的。André Joyal大大推动了对准范畴的研究，指出大多数通常的基本范畴论及一些高级概念和定理在准范畴中都有类似物。对准范畴理论进行了详细论述。 准范畴是特定的单纯集合。与普通范畴相似，它们包含对象（单纯集合的0-單體）及对象间的态射（1-單體）。与范畴不同的是，两个…
奎伦伴随
同伦论中，两个封闭模型范畴C、D之间的奎伦伴随指一种特殊的范畴间的伴随，通过全导函子结构，在同伦范畴Ho(C)与Ho(D)之间建立伴随关系。奎伦伴随为纪念数学家丹尼尔·奎伦而名。 正式定义 给定两个封闭模型范畴C、D，奎伦伴随是一对 :(F, G): C \leftrightarrows D 伴随函子，F左伴随G，使得F保留了上纤维化与平凡上纤维化；或根据封闭模型公理，G保留了纤维化与平凡纤维化。在这样的伴随关系中，F是左奎伦函子，G是…
纤维化 (数学)
数学中，尤其是代数拓扑，一个纤维化（）是一个连续映射 :p:E\to B,\, 对任何空间满足同伦提升性质。纤维丛（在仿紧底上）构成一类重要例子。在同伦论中任何映射和纤维化“一样好”——即任何映射可以分解为到“映射道路空间”的同伦等价复合一个纤维化（参见同伦纤维）。 对 CW复形（或等价地，只用多方体 In）有同伦提升性质的纤维化称为塞尔纤维化，让-皮埃尔·塞尔在其博士论文中部分提出了这个概念。这篇论文牢固地在代数拓扑学中建立了谱序列的…
道路 (拓扑学)
在数学中，拓扑空间 X 中一条道路（）是从单位区间 I = [0,1] 到 X 的一个连续函数 f :f : I → X. 道路的起点是 f(0)，终点是 f(1)。通常说从 x 到 y 的一条道路，这里 x 与 y 是道路的起点与终点。注意，一条道路不仅是 X 中看起来像一条曲线的子集，它也包含了参数化。例如，映射 f(x) = x 与 g(x) = x2 表示两个实数轴上从 0 到 1 两条不同的道路。 空间 X 中以 x∈ X 为…
紧生成空间
在拓扑学中，紧生成空间（又称*k-空间*）是一种拓扑空间、其拓扑为所有紧致子空间族的凝聚。具体而言，我们称拓扑空间X 为紧生成空间，当它满足： ::子空间A 是X 中的闭集当且仅当对所有紧子集K ⊆X，A ∩K 是K 中的闭集。 等价地，我们也可以将以上条件中的“闭集”替换成“开集”。实际上，只要X 的拓扑是任意紧覆盖的凝聚（在以上的意义上），那么它的拓扑就是所有紧致子空间的凝聚。 相似地，紧生成豪斯多夫空间 是紧生成的豪斯多夫空间。与…