单纯集合
数学裡，单纯集合（）是范畴同伦论中一个构造，这是“良态”拓扑空间的一个纯代数模型。历史上，这个模型源自组合拓扑学特别是单纯复形。 引言 拓扑空间可从单形以及它们的接合关系（或准确地说表示为差一个同伦）构造出来，单纯集合是抓住这一点的范畴（即纯代数）模型。这类似于拓扑空间的 CW复形模型，本质区别是单纯集合是纯代数的，本身不带任何拓扑（这在给出正式定义后将见到）。 为了得到真正的拓扑空间，有一个几何实现函子，取值于紧生成豪斯多夫空间范畴。…
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构型空间
。]] 数学中，构型空间（configuration space）是与物理学中的状态空间或相空间密切相关的构造，后者将整个系统的状态描述为高维空间的单点。数学中，这用于描述点集在拓扑空间中的位置分布；更具体地，数学构型空间是几个非碰撞粒子的物理位形空间的特殊例子。 定义 对拓扑空间X和正整数n，令X^n为n份X的笛卡儿积，具备积拓扑。X的第n个（有序）构型空间是X中成对不同点的n元组的集合： :\operatorname{Conf}_n…
高维代数
在数学中，特别是（高阶）范畴论中，高维代数是指对范畴化结构的研究。其在非阿贝尔代数拓扑与抽象代数的推广中有应用。 高维范畴 定义高维代数的第一步是高阶范畴论中2-范畴的概念，以及二阶范畴的更“几何化”的概念。 更高级的概念因此定义为范畴的范畴，或称为超范畴。这将范畴的标记推广到高维——范畴被视为可以解释抽象范畴基本理论（ETAC）的劳维尔公理的任何结构。 因此，超范畴可被视作元范畴、多范畴、多图或有色图。 超范畴的概念于1970年被首次…
纤维丛
纖維-{}-叢（ ），在数学上，特别是在拓扑学中，是一个局部看来像直积空间，但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛對應一个连续满射 \pi :E\rightarrow B E和乘積空間B\times F的局部類似性可以用映射 \pi 來說明。也就是說：在每個E的局部空間 U，都存在一個相同的F（F稱作纖維空間），使得 \pi 限制在 U 上時 與直积空间B\times F的投影P:B\times F\mapsto B,\quad P(b,…
餘調
在同調論與代數餘鏈中，餘調（）表示由與拓樸空間相關的阿貝爾群組成的序列，經常由餘鏈復形定義。餘調可以被視為給予空間（比同調）更豐富的代數不變量的方式。某些餘調是將同調的建構對偶化產生的。換言之，餘鏈是同調論中鏈群上的函數。 這個概念一開始是在拓撲學中，到20世紀後半變成數學的一個主要方法。從原先將同調作為建構拓樸空間的代數不變量的方法，現今同調與餘調理論的應用已遍布幾何與代數。餘調是個反變的理論，而在很多應用中比同調更自然，但術語使上述…
卷绕数
平面上的闭曲线关于某个点的卷绕数（Winding number），是一个整数，它表示了曲线绕过该点的总次数。卷绕数与曲线的定向有关，如果曲线依顺时针方向绕过某个点，则卷绕数是负数。 卷绕数在代数拓扑中是基本的概念，在向量分析、复分析、几何拓扑、微分几何和物理学中也扮演了重要的角色。 描述 假设在xy平面上有一条有向的闭曲线。我们可以把曲线想象为某个物体的运动轨迹，运动方向就是曲线的方向。曲线的卷绕数就是物体逆时针绕过原点的总次数。 计算…
毛球定理
在代数拓扑中，毛球定理（英語：Hairy ball theorem）说明了偶数维单位球面上的连续而又处处不为零的切向量場是不存在的。具体来说，如果 f 是定义在一个单位球面上的连续函数，并且对球面上的每一点 P ，其函数值是一个与球面在该点相切的向量，那么总存在球面上的一点，使得f在该点的值为零。直观上（三维空间中的球面），不存在零点的球面向量场可以想象为一个被“抚平”的“毛球”。而这个定理最著名的通俗陈述也正是“永远不可能抚平一个毛球…
上积
代数拓扑中，上积或杯积（cup product）是将两个度为p和q的上循环联接起来，形成度为p+q的复合循环的方法。这定义了上同调中的结合（与分散）分次交换积，将空间X的上同调转变为分次环H^(X)，称作上同调环。上积由詹姆斯·韦德尔·亚历山大、爱德华·切赫与哈斯勒·惠特尼于1935–1938年间提出，1944年塞缪尔·艾伦伯格给出了一般定义。 定义 奇异上同调中，上积构造给出了拓扑空间X的分次上同调环H^(X)上的积。 构造始于上链之…
配丛
在数学中，带有结构群 G（拓扑群）的纤维丛理论允许产生一个配丛（）的操作，将丛的典型纤维由 F1 变成 F2，两者都是具有群 G 作用的拓扑空间。对具有结构群 G 的纤维丛 F，纤维在两个局部坐标系 Uα 与 Uβ 交集上的转移函数（即上链）由一个 Uα∩Uβ 上 G-值函数 gαβ 给出。我们可以构造一个纤维丛 F′ 有同样的转移函数，但可能具有不同的纤维。 一个例子 一个简单的例子来自莫比乌斯带，这里 G 是 2 阶循环群 \mat…
单值性
的虚部。在\mathbb{C}\backslash \{0\}上定义复对数，会沿不同路径得到不同答案。这就产生了无限循环单值群，以及\mathbb{C}\backslash \{0\}的螺旋曲面（黎曼曲面之一）覆盖。]] 数学中，单值性（monodromy）研究的是数学分析、代数拓扑、代数几何与微分几何中的对象在“绕着奇点旋转”时的行为。这个领域同覆叠映射及其到分歧的退化密切相关。引发单值现象的方面是，我们想定义一个绕奇点旋转时不保持单…
梅西积
现象的代数推广。]] 代数拓扑中，梅西积（Massey product）是引入的一种高阶上同调运算，推广了上积。梅西积由美国代数拓扑学家William S. Massey提出。 梅西三元积 令a,\ b,\ c为微分分次代数\Gamma的上同调代数H^(\Gamma)的元素。若ab=bc=0，则梅西积\langle a,b,c\rangle是H^n(\Gamma)的子集，其中n=\deg(a)+\deg(b)+\deg(c)-1。 梅西…
CW复形
CW复形，又称胞腔复形，在拓扑学上屬於拓扑空间之一類，由J.H.C.怀特海德引入，用于同伦理论。其思想是构造一类空间，比单纯复形更为广泛（我们现在可以说，有更好的范畴论属性）；但还要保留组合的本质，因此计算方面的考虑没有被忽略。 形式表述 粗略地说，CW复形由称作胞腔的基本元件组成。其精确定义规定胞腔如何在拓扑意义上“粘合”。CW复形名称中的“C”代表“闭有限”（），而“W”则代表“弱拓扑”（）。 单个 n 维闭胞腔是指 n 维闭球在贴…
四維超正方體
{{Infobox polychoron | name = 超正方體 | imagename = Schlegel_wireframe_8-cell.png | caption = 施萊格爾圖 | polytope = 超正方体 （8胞体） 4-超方形 | Type = 四维凸正多胞体 | group_type = 超方形 | Dimension = 4 | dim = | count = | Cell = 8 (4.4.4) | Fa…
四維多胞體
在四維幾何學中，四維多胞體又稱4-多胞形是一種位於四維空間中的多胞形， 其為由多個多面體作為維面所構成的封閉幾何結構。 這些多胞體的組成元素可分為頂點、邊、面（多邊形）、胞（多面體）。 每個面都與兩個胞相鄰。 四維多胞體最早由瑞士數學家路德维希·施莱夫利在1853之前發現。 四維多胞體在二維空間的類比是多邊形、在三維空間的類比是多面體。 從拓樸學的觀點來看，四維多胞體與三維堆砌體密切相關，如立方體堆砌，其為三維空間的空間填充；類似地，三…
陳-西蒙斯形式
在數學中，陳-西蒙斯形式（）以陳省身和詹姆斯·哈里斯·西蒙斯的名字命名。這些微分形式在規範理論、楊-米爾斯理論、物理學、幾何、和拓撲有許多應用。他們是陳-西蒙斯理論的主要對象。 公式 若(M, G)是主丛，F是曲率： F = dA + A \wedge A 陳-西蒙斯形式是： dCS_{2k-1}(A) = tr(F^k) 例如： CS_1 = tr(A) CS_2 = tr(dA\wedge A + \frac{2}{3} A\wed…
陈类
数学上，特别是在代数拓扑和微分几何中，陈类（，或稱陳氏類）是一类复向量叢的示性类，类比于作为实向量叢的示性类。 陈类因陈省身而得名，他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。 定义 给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛E, E的陈类是一系列X的上同调的元素。E的*第k个陈类通常记为ck(E),是X的整数系数的上同调群H2k(X;Z)中的一个元素，并且满足如下公理: 公理1. 对于任何E,\ c_0(E) =1 \in H^0(X; \m…
代数拓扑
，代数拓扑学中最常出现的研究对象之一。]] 代数拓扑（）是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。其基本目标是通过寻找拓扑空间的具有代数结构的不变量，从而将拓扑空间。 尽管代数拓扑学主要通过代数研究拓扑问题，但有时也可以使用拓扑学知识解决代数问题。例如，代数拓扑学可以方便地证明自由群的任何子群又是一个自由群。 代数拓扑的主要分支 代数拓扑的几个主要分支如下： 同伦群 在数学中，同伦群是一个用于分类拓扑空间。基本群是同伦群最简单的例子…
向量丛
向量叢(vector bundle)也翻譯成向量-{束}-，是数学，特別是幾何學，上的一種幾何結構，在空間 X（X 可以是拓撲空間、流形或代数簇）的每一點指定(或"黏上")一個向量空间(比如 \mathbb{R}^n)，而这些向量空间“粘起来”又构成一個新的拓扑空间（或流形，或代数簇）。 在 X 之上的向量叢最簡單的例子是，X×\mathbb{R}^n，另一個較複雜的典型的例子是微分流形的切丛(tangent bundle)：对流形的每…
线丛
数学中，线丛（line bundle）表达了空间中在点之间变化的直线的概念。例如，平面中的曲线在每一点都有一条切线，这就确定了一条变化的直线：切丛是组织它们的一种方式。代数拓扑和微分拓扑中，线丛更正式的定义是秩为1的向量丛。 为空间中的每一点连续地选择一个1维向量空间，便确定了线丛。在拓扑学的应用中，这个向量空间通常是实或复的，而由于实向量空间与复向量空间的拓扑性质不同，两种选择将表现出根本上不同的行为：剔去实数线上的原点，就得到可逆1…
亏格
数学上的亏格，也称为曲面种数（）有几个不同但密切相关的意思。最常见的概念是（有方向的）曲面的亏格，是其具有的“孔”的数量，因此，一个球体的亏格为0，而一个圆环的亏格为1。 拓扑 可定向曲面 连通，可定向曲面的亏格是一个整数，代表沿闭简单曲线切开但不切断曲面的最大曲线条数。这和柄的个数是相同的。 例如： 球面，圆盘和环亏格都为0。 环面亏格1，和带一个柄的咖啡杯的表面是一样的。 Image:Sphere-wireframe.png|亏格0…