纤维丛
纖維-{}-叢（ ），在数学上，特别是在拓扑学中，是一个局部看来像直积空间，但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛對應一个连续满射 \pi :E\rightarrow B E和乘積空間B\times F的局部類似性可以用映射 \pi 來說明。也就是說：在每個E的局部空間 U，都存在一個相同的F（F稱作纖維空間），使得 \pi 限制在 U 上時 與直积空间B\times F的投影P:B\times F\mapsto B,\quad P(b,…
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共 15 篇文章
协变经典场论
近年来，协变经典场论又引起了研究者的兴趣。动力学在这里用有限维空间的在时空中的给定时间点上的场来表述。射流丛现在被认为是这种表述的正确定义域。 本文给出一阶经典场论的协变表述的一些几何结构。 记法 本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令\bar{\Gamma}(\pi)表示有紧支撑的\pi\,的截面。 作用量积分 一个经典场论数学上可以如下表述 一个纤维丛 (\mathcal{E},\pi, \mathcal{M})，其中\mathc…
配丛
在数学中，带有结构群 G（拓扑群）的纤维丛理论允许产生一个配丛（）的操作，将丛的典型纤维由 F1 变成 F2，两者都是具有群 G 作用的拓扑空间。对具有结构群 G 的纤维丛 F，纤维在两个局部坐标系 Uα 与 Uβ 交集上的转移函数（即上链）由一个 Uα∩Uβ 上 G-值函数 gαβ 给出。我们可以构造一个纤维丛 F′ 有同样的转移函数，但可能具有不同的纤维。 一个例子 一个简单的例子来自莫比乌斯带，这里 G 是 2 阶循环群 \mat…
拉回丛
数学上，拉回丛（pullback bundle）或导出丛（induced bundle）是纤维丛理论中的常见构造。令 π : E → B为以F为纤维的纤维丛，并令f : B′ → B为任意连续映射。则，f自然地诱导出一个纤维丛 π′ : f*E → B′，它也以F为纤维。大致来讲，只需要说在点x的纤维是在点f(x)的纤维就可以了；然后用不交并将所有纤维合起来。 如果要更形式化一些，可以定义 :f^{}E = \{(x,e) \in B'…
标架丛
数学中，标架丛（）是一个与任何向量丛 E 相伴的主丛。F(E) 在一点 x 的纤维是 Ex 的所有有序基或曰标架。一般线性群通过基变更自然作用在 F(E) 上，给出标架丛一个主 GLk(R)-丛结构，这里 k 是 E 的秩。 一个光滑流形的标架丛是与其切丛相伴的丛。因此它有经常称为切标架丛（）。 定义与构造 设 E → X 是拓扑空间 X 上一个 k 阶实向量丛。在点 x ∈ X 的一个标架是向量空间 Ex 的一个有序基。等价地，一个标…
外共变导数
在数学中，外共变导数（），时或称为共变外导数（），是中一个非常有用的概念，它可能将利用主联络的公式化简。 设 P → M 是光滑流形 M 上一个主 G-丛。如果 \phi 是 P 上一个张量性 k-形式，则其外共变导数定义为： :D\phi(X_0,X_1,\dots,X_k)=\mathrm{d}\phi(h(X_0),h(X_1),\dots,h(X_k)) 这里 h 表示到水平子空间的投影，H_x 由联络定义，其核为该纤维丛的全空…
圆丛
在数学中，（定向）圆丛（）是一个纤维是圆周 \mathbf{S}^1 的定向纤维丛，或更准确地，是一个主 U(1)-丛。它同伦等价于复线丛。在物理学中，圆丛是电磁学自然的几何背景。圆丛是球丛的一个特例。 与电动力学的关系 麦克斯韦方程对应于一个用 2-形式 F 表示的电磁场，满足 \pi^F 上同调于零。特别地，总存在一个 1-形式 A 使得： :\pi^F = dA. 给定 M 上一个线丛 P 及其投影 :\pi:P\to M, 我们…
截面 (纤维丛)
的一个截面是一个向量场。]] 在数学之拓扑学领域中，拓扑空间 B 上纤维丛 π: E → B 的一个截面或横截面（），是一个连续映射 s : B → E，使得对 x 属于 B 有 π(s(x))=x。 从函数图像开始 截面是函数图像概念的某种推广。一个函数 g : X → Y 的图像可以等价于取值为 X 与 Y 的笛卡儿积的一个函数： : f(x) = (x,g(x)) \in E,\quad f:X\to E.\, 一个截面是什么是一…
联络 (主丛)
在数学中，丛上一个联络是定义了一种平行移动概念的装置；即将邻近点上的纤维“连接”或等价的一种方法。光滑流形M上主G-丛P上一个主G-联络是一类特殊的联络，它与群G的作用相容。 主联络可以视为是埃雷斯曼联络概念的一类特例，经常称为主埃雷斯曼联络。它给出了通过配丛构造相配于P的任何纤维丛上一个（埃雷斯曼）联络。特别地，在任何配向量丛上主联络诱导了一个共变导数，一个能对这个丛的光滑截面关于沿着底流形上切方向微分的算子。主联络将光滑流形标架丛上…
霍普夫纤维化
在拓扑学中，霍普夫纖維化（Hopf fibration，亦称霍普夫纖維丛）是最早提出的纤维化，其中的纤维是圆圈（1-球面，1），基空间是三维空间中的球面（2-球面，2），而全空间是四维空间中的超球面（3-球面，3）。容易验证，它是非平凡的。即全空间3与积空间1×2不是拓扑同构的。 解释 运用基本的拓扑学语言，霍普夫纤维化可以解释为一个连续满射（称为投影）\pi: S^3\rightarrow S^2，使得 :\forall x\in S…
主丛
数学上，一个*G主丛(principal G-bundle)是一种特殊的纤维丛，其纤维为拓扑群G的作用的扭子（torsor）（也称为主齐性空间）。主G丛是G丛，因为群G也是丛的结构群。 主丛在拓扑学和微分几何中有重要应用。他们在物理学中也有应用，他们组成了规范理论的基础框架的一部分。主丛为纤维丛的理论提供了一个统一的框架，因为所有纤维丛及其结构群G决定了一个唯一的主G丛，从该主丛可以重建原来的那个丛。 形式化定义 一个主G丛是一个纤维丛…
结构群的约化
数学中，特别是在主丛理论中，我们可问一个 G-丛能否“来自”一个子群 H 。这称为结构群的约化（，约化为 H），且对任何映射 H\to G 有意义，不必要求是包含（尽管使用了这个术语）。 定义 正式的，给定一个 G-丛 B 与映射 H → G（不必是包含），结构群的约化（从 G 到 H）是一个 H-丛 B_H 使得推出 B_H \times_H G 同构于 B。 注意到这不一定存在，如果存在也不必惟一。 作为一个实例，每个偶数维实向量空…
节丛
在微分几何中，节丛(jet bundle，或称射流丛、射丛)是一种特殊的构造，从给定的光滑纤维丛建立一个新的光滑纤维丛。它使得在纤维丛的截面上用一种不变形式来表达微分方程成为可能。 历史上，节丛归功于埃雷斯曼，它是嘉当的延长方法上的一个进步，该方法通过在新引入的形式化变量上加入微分形式条件的办法来以几何方式处理高阶导数。节丛有时候也称为喷射(sprays)。 导引 令E=\mathbb R^k\times B 为B上的平凡从 。则丛的截…
联络形式
在数学，特别是微分几何中，一个联络形式（）是用活动标架与微分形式的语言处理联络数据的一种方式。 历史上联络形式由埃利·嘉当在二十世纪上半叶引入，作为他活动标架方法的一部分，也是其主要促进因素之一。联络形式一般取决于标架的选取，从而不是一个张量性对象。在嘉当最初的工作之后，涌现出联络形式的各种推广与重新解释。特别地，在一个主丛上，一个主联络是将联络形式自然重新解释为一个张量性对象。另一方面，联络形式作为定义在微分流形上的微分形式与在一个抽…
铅直丛
在数学微分几何领域，一个光滑纤维丛的铅直丛（）是切丛的一个子丛，由所有和纤维相切的向量组成。更具体地，如果 π:E→M 是一个光滑流形 M 上一个光滑纤维丛，设 e ∈ E 满足 π(e)=x ∈ M，则在 e 处的铅直空间（） VeE 是纤维 Ex 包含 e 的切空间 Te(Ex)。这就是， VeE = Te(Eπ(e))。从而铅直空间是 TeE 的一个子空间，所有铅直空间的并是 TE 的一个子丛 VE，这便是 E 的铅直丛。 铅直丛…