定常系統
在經典力學裏，如果一個系統的所有約束都是定常約束（scleronomous constraint），則稱此系統為定常系統（scleronomous system）。定常約束顯性地不含時間。假若約束顯性地含時間，則稱此約束為非定常約束。 應用 :主要項目：廣義速度 在三維空間裏，一個質量為m、速度為\mathbf{v}的粒子的動能是 :T =\frac{1}{2}m v^2 。 速度是位置\mathbf{r}對於時間t的導數。應用偏微分連…
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共 25 篇文章
完整系統
在經典力學裏，假若一個系統的所有的約束條件都是，則稱此系統為完整系統（）。完整約束以方程式表達為 : f(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_N,\ t)=0； 其中，x_i是每一個粒子P_i之位置，t是時間。 假若一個約束條件不能夠以上述方程式表達，則稱此約束條件為非完整約束。 假若一個系統有任何約束條件不是完整約束，則稱此系統為非完整系統。 轉換至廣義坐標 完整約束方程式只跟位置、時間有關，跟速度無關。完整約束方…
單演系統
在經典力學裏，單演系統（）是最常使用的物理系統之一。這是因為單演系統提供了一個非常理想的系統，使得物理學家能夠發展與檢查嶄新的構想與理論。單演系統具有優良的數學性質，非常適合作數學分析，是任何物理理論研究的起始點。 假若在一個物理系統裏，除了約束力以外，所有的作用力都是純量廣義位勢函數的導數，而此廣義位勢函數的參數是廣義坐標，廣義速度，或時間，則稱此系統為單演系統。 在單演系統裏，除了約束力以外，所有的廣義力\mathcal{F}_i\…
晕轮轨道
旋转的天体的晕轮轨道（不是等比例的）]] 在太空动力学的三体问题中，晕轮轨道是一种靠近L1, L2或 L3 拉格朗日点周期性的三维轨道。虽然拉格朗日点只是太空中空无一物的一个点，但奇特的是能围绕它旋转。晕轮轨道被看作是两个行星性物体的引力、科氏力和离心力互相作用于航天器的结果。晕轮轨道存在于任意一个三体系统中，如日-地系统和地-月系统。每一个拉格朗日点都同时存在北晕轮轨道和南晕轮轨道。由于晕轮轨道倾向于不稳定状态，需要技术将卫星保持在轨…
虛位移
在分析力學裏，保持時間不變，虛位移是符合約束條件的無窮小位移。由於任何物理運動都需要經過時間的演進才會有實際的位移，所以稱保持時間不變的位移為虛位移。 如右圖，假設一個粒子的運動軌道是x (t)，另外一條不違反約束條件的路徑是x'(t)，則在時間t_1，虛位移是\delta x=x'(t_1)-x(t_1)。 假設一個位置向量\mathbf{r}_i是廣義坐標q_1, q_2,\dots, q_N與時間t的函數，\mathbf{r}_i…
約束 (經典力學)
在经典力学中，约束（constraint）是指对非自由质点（或系统）的空间位置和运动状态预先施加的几何限制或运动限制，亦即减少系统自由度的各种限制条件。 约束力（constraint force）是由于约束的存在而产生的，用以限制研究对象（隔离体）沿某些方向运动的力。约束力的大小和方向取决于主动力（active force）；如果没有主动力去尝试改变物体的运动状态，约束力通常不存在或保持静止状态。约束反力（constraint reac…
非完整系統
在古典力學裏，假如，一個系統有任何約束是非完整約束，則稱此系統為非完整系統。非完整約束不是。完整約束可以用方程式表示為 : f(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_N,\ t)=0； 這裏，f是每一個粒子P_i之位置x_i和時間t的函數。非完整約束不能夠用上述方程式表示。 廣義坐標的轉換 完整約束方程式與位置、時間有關，與速度無關。完整約束方程式可以很簡易地除去指定的變數。假設變數x_d是完整約束函數f_k裏的一個參…
勒壤得轉換
(x_0,\ f(x_0))\,\! 的切線用藍色表示。切線與 y-軸相交於點 (0,\ - f^)\,\! ；這裏，f^\,\! 是勒壤得轉換 f^(p_0)\,\! 的值，p_0=\dot{f}(x_0)\,\! 。特別注意，穿過在紅線上任何其它點，而擁有同樣斜率 \dot{f}(x_0)\,\! 的直線，其與 y-軸相交點必定比點 (0,\ - f^)\,\! 高，證明 f^\,\! 確實是極大值。]] 勒壤得轉換（）是一個在數學…
协变经典场论
近年来，协变经典场论又引起了研究者的兴趣。动力学在这里用有限维空间的在时空中的给定时间点上的场来表述。射流丛现在被认为是这种表述的正确定义域。 本文给出一阶经典场论的协变表述的一些几何结构。 记法 本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令\bar{\Gamma}(\pi)表示有紧支撑的\pi\,的截面。 作用量积分 一个经典场论数学上可以如下表述 一个纤维丛 (\mathcal{E},\pi, \mathcal{M})，其中\mathc…
拉格朗日量
在分析力學裏，一个动力系统的拉格朗日量（），又稱拉格朗日函數，简称“拉氏量”，是描述整个物理系统的动力状态的函数，對於一般經典物理系統，通常定義為動能減去勢能，以方程式表示為 :\mathcal{L} = T - V； 其中，\mathcal{L}為拉格朗日量，T為動能，V為勢能。 在分析力学裡，假設已知一个系统的拉格朗日量，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程式，稍加运算，即可求得此系统的运动方程式。 拉格朗日量是因數學家和天文學家…
拉格朗日点
引起的等效位能的等值線圖。箭頭指示圍繞五個拉格朗日點的位能的下坡梯度，朝向它們（紅色）和遠離它們（藍色）。與直覺相反，L4和L5 點是位能的高點。在這些點本身，這些力是平衡的。]] 軌道示意動畫 ]] 拉格朗日点（，亦稱平動點）是天體力學中兩個大質量軌道物體的引力影響下，小質量物體的力學平衡點。在數學上，這涉及到限制性三體問題的解。這可以使拉格朗日點成為衛星的絕佳位置，因為軌道校正時維持所需軌道的燃料需求保持在最低限度。 對於兩個軌道體…
廣義力
廣義力（）是拉格朗日力學裏面的一個基本概念。在一個物理系統裏，因為力\mathbf{F}\,\!，一個粒子經過虛位移\delta \mathbf{r}\,\!，所作的虛功\delta W\,\!是 :\delta W = \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}\,\!。 轉換至廣義坐標q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots\ q_N\,\!， :\delta W = \sum_{j=1}^N\ \m…
達朗貝爾原理
]] 達朗貝爾原理（）是因其發現者法國物理學家與數學家讓·達朗貝爾而命名。達朗貝爾原理闡明，對於任意物理系統，所有慣性力或施加的外力，經過符合約束條件的虛位移，所作的虛功的總和等於零： :\sum_{i}\ (\mathbf{F}_{i}+\mathbf{I}_i)\cdot \delta \mathbf{r}_i = 0\,\!； 其中，\mathbf{I}_i= - m_i\mathbf{a}_i\,\!是粒子P_i\,\!感受到的…
非定常系統
在經典力學裏，假若一個系統的任何約束是非定常約束，則定義此系統為非定常系統。非定常約束的方程式顯性地含時間。假若約束方程式不顯性地含時間，則稱此約束為定常約束。 實例1：單擺 如右圖所示，單擺是由一個擺錘與一條繩子組成的簡單機械；繩子的上端固定，下端繫著擺錘。由於這繩子是無法伸縮的，繩子的長度是常數。所以，這系統是定常系統；它遵守定常約束 : \sqrt{x^2+y^2} - L=0； 其中，(x,\ y)是擺錘的位置，L是擺長。 實例…
拉格朗日力学
拉格朗日力学（）是分析力学中的一种，于1788年由約瑟夫·拉格朗日所创立。拉格朗日力学是对经典力学的一种的新的理论表述，着重于数学解析的方法，並運用最小作用量原理，是分析力学的重要组成部分。 经典力学最初的表述形式由牛顿建立，它着重於分析位移，速度，加速度，力等矢量间的关系，又称为矢量力学。拉格朗日引入了广义坐标的概念，又运用达朗贝尔原理，求得与牛顿第二定律等价的拉格朗日方程。不仅如此，拉格朗日方程具有更普遍的意义，适用范围更广泛。还有…
變分法基本引理
在數學裏，特別是在變分法裏，變分法基本引理（）是一種專門用來變換問題表述的引理，可以將問題從弱版表述（）（變分形式）改變為強版表述（微分形式）。 敘述 C^k 代表k阶导数连续（k阶光滑）的函数空间， C^\infty 代表无限光滑的函数空间。 變分法基本引理： 設 f(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\! 若任意 h(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\! 滿足 h(a)=h(b)=0\,\! 成立 : …
廣義座標
廣義座標是不特定的座標。假若用一組廣義座標來導引方程式，所得到的答案，可以應用於較廣泛的問題；並且，當最後終於設定這座標時，答案仍舊是正確的。拉格朗日力學，哈密頓力學都需要用到廣義座標來表示基要概念與方程式。 獨立的廣義座標 當分析有的問題時（尤其是当有许多约束条件的时候），最好盡量選擇獨立的廣義座標。因為，這樣可以減少代表約束的變數。但是，當遇到非完整約束時，或者當計算約束力時，就必須使用關於這約束力的，相依的廣義座標。 在三維空間裏…
作用量
在物理學裏，作用量（英语：action）是一個很特別、很抽象的物理量。它表示著一個動力物理系統內在的演化趨向。雖然與微分方程式方法大不相同，作用量也可以被用來分析物理系統的運動，所得到的答案是相同的。只需要設定系統在兩個點的狀態，初始狀態與最終狀態，然後，經過求解作用量的平穩值，就可以得到系統在兩個點之間每個點的狀態。 歷史 皮埃爾·德·費馬於1662年發表了費馬原理。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是極值。這原理在物理學界…
拉格朗日力学的逆问题
在数学中，拉格朗日力学的逆问题是这样一个问题：给定的常微分方程组是否是一个拉格朗日函数的欧拉-拉格朗日方程。 自 20 世纪初以来，已开展了大量的活动来研究这一问题。1941年美国数学家杰西·道格拉斯发表了一篇论文，他在文中给出了拉格朗日力学逆问题有解的充要条件，这是这一领域的一个显著进步。这些条件现在被冠名于赫尔曼·冯·亥姆霍兹，称为亥姆霍兹条件。 问题的背景和表述 n 维欧几里得空间 \mathbb R^n 上的拉格朗日力学的通常表…
拉格朗日方程式
拉格朗日方程式（），-{因}-數學物理學家约瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力學的重要方程式，可以用來描述物體的運動，特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相當於牛頓力學中的牛頓第二定律。 定義 假設一個物理系統符合完整系統的要求，即所有廣義座標都互相獨立，則拉格朗日方程式成立： :\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} - \frac{\pa…