拉格朗日量

在分析力學裏，一个动力系统的拉格朗日量（），又稱拉格朗日函數，简称“拉氏量”，是描述整个物理系统的动力状态的函数，對於一般經典物理系統，通常定義為動能減去勢能，以方程式表示為
:\mathcal{L} = T - V；

其中，\mathcal{L}為拉格朗日量，T為動能，V為勢能。

在分析力学裡，假設已知一个系统的拉格朗日量，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程式，稍加运算，即可求得此系统的运动方程式。

拉格朗日量是因數學家和天文學家約瑟夫·拉格朗日而命名。

在场论，若

S(\phi) = \int \mathcal{L}(\phi(x), \partial \phi(x), x) d^nx

是作用量，则拉格朗日方程是

\frac{\delta S}{\delta \phi} = 0

概念
拉格朗日量是动能T与势能V的差值：
:\mathcal{L}=T - V。

通常，動能的參數為廣義速度\dot q_1,\dot q_2,\dot q_3, \dots,\dot q_N（符號上方的點號表示對於時間t的全導數），而勢能的參數為廣義座標q_1,q_2,q_3, \dots, q_N; t，所以，拉格朗日量的參數為q_1,q_2,q_3, \dots, q_N;\dot q_1,\dot q_2,\dot q_3, \dots,\dot q_N;t。解析一个问题，最先要选择一个合适的广义坐标。然后，计算出其拉格朗日量。假定這些參數（廣義座標、廣義速度）都互相獨立，就可以用拉格朗日方程式来求得系统的运动方程式。

假設一個物理系統的拉格朗日量為\mathcal{L}，則此物理系統的運動，以拉格朗日方程式表示為
:\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}=0；

其中，t是时间，q_i是广义坐标，\dot{q}_i是广义速度。

拉格朗日量與作用量的關係
一個物理系統的作用量\mathcal{S}是一種泛函，以數學方程式定義為
:\mathcal{S}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\,dt；

其中，L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)是系統的拉格朗日量，廣義坐標\mathbf{q} = \left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N} \right)是時間t的函數，t_{1}和t_{2}分別為初始時間和終結時間。

假若，作用量的一次變分\delta \mathcal{S}=0，作用量\mathcal{S}為平穩值，則\mathbf{q}(t)正確地描述這物理系統的真實演化。從這變分運算，可以推導出拉格朗日方程式

詳盡相關導引，請參閱拉格朗日方程式。

对称性与守恒量
根据诺特定理，根据物理系统的对称性可以通过拉格朗日量导出守恒量。如果物理系统具有时间平移不变性则可以导出能量守恒。导出过程如下，思考拉格朗日量對於時間的全導數：
:\frac{d\mathcal{L}}{dt}=\sum_i\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\dot{q}_i+\sum_i\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}。

將拉格朗日方程式代入，可以得到
:\begin{align}\frac{d\mathcal{L}}{dt} & =\sum_i \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\right)\dot{q}_i+\sum_i\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \\
&=\sum_i \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i\right)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \\
\end{align}。

定義能量函數\mathit{h}(q_1,q_2,q_3, \dots; \dot q_1,\dot q_2,\dot q_3, \dots;t)為
:\mathit{h}\ \stackrel{def}{=}\ \sum_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i - \mathcal{L}，

則能量函數與拉格朗日量有以下含時關係式：
:\frac{d\mathit{h}}{dt}= - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}。

假若系统具有时间平移不变性，即拉格朗日量顯性地與時間無關，\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}=0，則能量函數是個常數：\mathit{h}=E。稱這常數E為這物理系統的能量。因此，這物理系統的能量守恆。如果系统具有空间平移不变性，这个系统为动量守恒，守恒量动量为 \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}。

拉格朗日量的逆问题
1941年杰西·道格拉斯指出，对于任意常微分方程组 F_i(t, q_j, q_j^{'}, q_j^{*})=0 ，存在作用量\mathcal{S}\ =\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\,dt使得其欧拉-拉格朗日方程为方程组 F_{i} 的充分必要条件为：

\frac{\partial F_i}{\partial q_j^{}} = \frac{\partial F_j}{\partial q_i^{}}

\frac{\partial F_i}{\partial q_j} - \frac{\partial F_j}{\partial q_i} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\frac{\partial F_i}{\partial q_j^'}-\frac{\partial F_j}{\partial q_i^'})

\frac{\partial F_i}{\partial q_j^'} + \frac{\partial F_j}{\partial q_i^'} = 2 \frac{d}{dt} (\frac{\partial F_j}{\partial q_i^{*}})

这一条件又称为亥姆霍兹条件。需要注意的是，这里\mathcal{L}=T - V不一定成立，作用量中的\mathcal{L}可以是经典拉格朗日的变形。例如：方程x^{*} + bx^{'}+\omega^2 x=0，对应的拉格朗日量为\mathcal{L} = e^{bt}(\frac{x^{'2}}{2}-\frac{\omega^2 x^2}{2})

拉格朗日表述
重要性
拉格朗日表述是经典力学的一种重新表述。拉格朗日表述的重要性，不只是因为它可以广泛应用在经典力学；而更是因为它能够帮助物理学家更深刻地了解一个物理系统的物理行为。雖然拉格朗日只是在尋找一種表述經典力學的方法，他用來推導拉格朗日方程式的平穩作用量原理，現在已被學術界公認為在量子力學也極具功用。

优点
*拉格朗日表述不会被任何坐标系统捆绑住。拉格朗日表述使用广义坐标来描述系统的空间参数。它所涉及的物理量是动能与势能，这些物理量的值不会随广义坐标的选择而改变。因此，對於系统的种种約束，可以选择一组最合适的广义坐标，来计算问题的解答。
*拉格朗日表述能够简易地延伸至其他学术領域。电路学、量子力学、粒子物理学、等等，都可以用拉格朗日表述来分析。
*如果用同样的表述可以分析不同学术領域的物理系统，这些系统必定有結构上的类推。在一个学术領域的新发现，意味著很可能在另一个学术領域会有类似的现象。

可略坐標和守恆定律
拉格朗日量有一個優良的性質，那就是守恆定律可以很容易地從它的表達式讀出來。例如，假設拉格朗日量\mathcal{L}跟某廣義速度\dot{q}_2有關，而跟廣義坐標q_2無關，則對應的廣義動量p_2是一個守恆量。這種坐標稱為「可略坐標」，或「循環坐標」。更詳細地說，拉格朗日量的形式為
:\mathcal{L}(q_1,q_3,q_4, \dots; \dot q_1,\dot q_2,\dot q_3,\dot q_4, \dots;t)。

直接檢視，就可以發覺\mathcal{L}跟q_2無關，因此可以推斷p_2是一個守恆量。

以此類推，假設，時間t不在\mathcal{L}的表達式裏面，則哈密頓量守恆，即能量守恆。這種物理行為是諾特定理的一個特別案例。關於能量守恆問題，稍後會有更詳細解說。

经典力学实例
假设，在三维空间裏，一個運動中的粒子的動能為T=\frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2=\frac{1}{2}m(\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2+\dot{x_3}^2)，勢能為V (r)，則拉格朗日量是
:\mathcal{L}(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}})= \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2 - V (r)；

其中，m是粒子質量，\mathbf{r}是位置向量，v是粒子的速度。

直角坐标系
採用直角坐标系。那麼，拉格朗日方程式就是
:\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i}= 0\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3；

其中，x_i是位置向量\mathbf{r}的第i個直角坐标分量。

那麼，
:\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{x}_i}\right) =m\ddot{x}_i、
:\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i}= - \ \frac{\partial V}{\partial x_i}。

这物理系统的运动方程式为
:m\ddot{\mathbf{r}}+\boldsymbol{\nabla} V=0。

由於势能對於位置的負梯度是作用力：\mathbf{F}= - \boldsymbol{\nabla} V (r)，所以，
:\mathbf{F}=m\ddot{\mathbf{r}}。

这方程式与牛顿第二定律方程式完全相同。由此可以观察出，拉格朗日表述与牛顿表述的功能相等。

能量函數\mathit{h}為
:\mathit{h}=\sum_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i}\dot{x}_i - \mathcal{L}=m\sum_i \dot{x}_i^2 - \mathcal{L}=\frac{1}{2}m\sum_i \dot{x}_i^2 +V(\mathbf{r})=T+V=E，

由於拉格朗日量顯性地與時間無關，能量函數\mathit{h}是個常數E。

球坐标系
假設選擇球坐标系，則拉格朗日量是
:\mathcal{L}(r,\ \theta,\ \varphi,\ \dot{r},\ \dot{\theta},\ \dot{\varphi})
=\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2) - V (r)；
其中，r是径向距离，\theta是天顶角，\varphi是方位角。

稍加运算，得到运动方程式为：
:\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{r}}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r}
=m\ddot{r} - mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+\frac{d V}{dr} =0、
:\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta}
=\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) - mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0、
:\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi}}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi}=\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0。

特別注意，\mathcal{L}跟\varphi無關。所以，\varphi是可略坐标，角動量的z-分量L_z=mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi}是常数。

檢驗粒子的拉格朗日量
假定檢驗粒子的質量和電荷超小，其對於外在系統的影響可以忽略。檢驗粒子時常可以想像為簡單的質點粒子，只擁有質量和電荷性質。像電子或上夸克一類的真實粒子具有更複雜的性質，它們的拉格朗日量含有更多項目。

狹義相對論裏的拉格朗日量
在狹義相對論的四維空間裏，一個移動中的粒子的相對論性拉格朗日量可以寫為。

通过对g_{\mu\nu}变分得到相应的欧拉-拉格朗日方程：

R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+g_{\mu\nu}\Lambda=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}

这也被称为爱因斯坦场方程。

T_{\mu\nu}是能动张量，定义如下：

T_{\mu\nu} \equiv \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\mathcal{L}_{\mathrm{matter}} \sqrt{-g}) }{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{matter}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{matter}

其中，g为度规张量的行列式。在广义相对论中，拉格朗日密度积分时的提及元变为\sqrt{-g}d^4x。这使得积分和坐标无关，因为这个平方根就是雅可比行列式。负号是为了使根号下为正。

相对论
在广义相对论下，包含爱因斯坦-希尔伯特作用量电磁场的拉格朗日密度为：
\begin{align}\mathcal{L}(x) &= j^\mu (x) A_\mu (x)

• {1 \over 4\mu_0} F_{\mu \nu}(x) F_{\rho\sigma}(x) g^{\mu\rho}(x) g^{\nu\sigma}(x) + \frac{c^4}{16\pi G}R(x)

\\ &= \mathcal{L}_\text{Maxwell} + \mathcal{L}_\text{Einstein-Hilbert}\end{align}
纯的电磁场拉格朗日密度正是物质的拉格朗日量\mathcal{L}_{matter}。将弯曲时空g_{\mu\nu}(x)替换闵氏时空拉格朗日量中的闵可夫斯基矩阵可以简单得到这个形式。我们可以得到在电磁场中的爱因斯坦场方程。能动张量为：

T^{\mu\nu}(x)
=\frac{2}{\sqrt{-g(x)}}\frac{\delta}{\delta g_{\mu\nu}(x)}\mathcal{S}_\text{Maxwell}
=\frac{1}{\mu_{0}}\left(F^{\mu}_{\text{ }\lambda}(x)F^{\nu\lambda}(x)-\frac{1}{4}g^{\mu\nu}(x)F_{\rho\sigma}(x)F^{\rho\sigma}(x)\right)
能动张量是无迹的：

T=g_{\mu\nu}T^{\mu\nu}=0

如果同时对爱因斯坦场方程两边同时缩并：

R=-\frac{8\pi G}{c^4}T

这意味着曲率张量也是无迹的，方程可以化简为：

R^{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\frac{1}{\mu_{0}}\left(F^{\mu}_{\text{ }\lambda}(x)F^{\nu\lambda}(x)-\frac{1}{4}g^{\mu\nu}(x)F_{\rho\sigma}(x)F^{\rho\sigma}(x)\right)

另外，弯曲时空的麦克斯韦方程组为：

D_{\mu}F^{\mu\nu}=-\mu_0 j^\nu

其中， D_{\mu}为协变导数。对于四维时空来说，我们可以假设四维电流为0, j^{\mu} = 0 。在自由空间球对称物质分布条件下同时解这两个方程，得到的解是赖斯纳-努德斯特伦度规，在自然单位制下带有电荷量为Q的黑洞度规可以写成下面的形式：

ds^2=\left(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}\right)dt^2- \left(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}\right)^{-1}dr^2 -r^2d\Omega^2

一个可能的统一电磁场和引力场的理论是卡鲁扎-克莱因理论。卡鲁扎-克莱因理论考虑了一个类似于杨-米尔斯方程的仿射丛，作用量可以分为4维部分和1维部分。不幸的是该理论未能包含全部的标准模型。

参见
*哈密顿量
*哈密顿原理
*拉格朗日力学
*拉格朗日方程式
*哈密顿力学
*最小作用量原理
*变分法
*诺特定理
*泛函导数
*泛函积分（路径积分表述）

参考文献