协变经典场论

近年来，协变经典场论又引起了研究者的兴趣。动力学在这里用有限维空间的在时空中的给定时间点上的场来表述。射流丛现在被认为是这种表述的正确定义域。
本文给出一阶经典场论的协变表述的一些几何结构。

记法
本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令\bar{\Gamma}(\pi)表示有紧支撑的\pi\,的截面。

作用量积分
一个经典场论数学上可以如下表述
*一个纤维丛 (\mathcal{E},\pi, \mathcal{M})，其中\mathcal{M}表示一个n\,维时空。
*一个拉格朗日量形式 \Lambda:J^{1}\pi \rightarrow \Lambda^{n}M
令\star 1\,代表M\,上的体积形式，则\Lambda = L\star 1\,，其中L:J^{1}\pi \rightarrow \mathbb{R}是拉格朗日量函数。
我们在 J^{1}\pi\,上选择纤维化坐标\{x^{i},u^{\alpha},u^{\alpha}_{i}\}\,，使得

:\star 1 = dx^{1} \wedge \ldots \wedge dx^{n}

作用量积分定义为

:S(\sigma) = \int_{\sigma(\mathcal{M})} (j^{1}\sigma)^{*}\Lambda \,

其中\sigma \in \bar{\Gamma}(\pi)，并定义于开集\sigma(\mathcal{M})\,，而j^{1}\sigma\,代表其第一射流延长(jet prolongation)。

作用量积分的变分
截面\sigma \in \bar{\Gamma}(\pi)\,的变分由曲线\sigma_{t} = \eta_{t} \circ \sigma\,给出，其中\eta_{t}\,是一个\mathcal{E}\,上的\pi\,-竖直向量场V\,的流，它在\mathcal{M}\,上有紧支撑。
截面\sigma \in \bar{\Gamma}(\pi)\,称为变分的驻点，如果

:\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\int_{\sigma(\mathcal{M})}(j^{1}\sigma_{t})^{*}\Lambda = 0\,

这等价于

:\int_{\mathcal{M}} (j^{1}\sigma)^{*}\mathcal{L}_{V^{1}}\Lambda = 0\,

其中V^{1}\,代表V\,的第一延长，按李导数的定义。
使用嘉当公式，\mathcal{L}_{X}=i_{X}d + di_{X}\,， 斯托克斯定理以及\sigma\,的紧支撑，可以证明这等价于

:\int_{\mathcal{M}} (j^{1}\sigma)^{*}i_{V^{1}}d\Lambda = 0 \,

欧拉－拉格朗日方程
考虑一个\mathcal{E}的\pi\,-竖直向量场
:V = \beta^{\alpha}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}}\,

其中\beta^{\alpha} = \beta^{\alpha}(x,u)\,。采用切触形式 \theta^{j} = du^{j} - u^{j}_{i}dx^{i}\, on J^{1}\pi\,，我们可以计算V\,的第一延长。然后得到

:V^{1} = \beta^{\alpha}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}} + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial x^{i}} + \frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial u^{j}}u^{j}_{i}\right)\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_{i}}\,

其中\gamma^{\alpha}_{i} = \gamma^{\alpha}_{i}(x,u^{\alpha},u^{\alpha}_{i})\,。
据此，可以证明

:i_{V^{1}}d\Lambda = \left[\beta^{\alpha}\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial x^{i}} + \frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial u^{j}}u^{j}_{i}\right)\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}}\right]\star 1 \,

因而

:(j^{1}\sigma)^{*}i_{V^{1}}d\Lambda = \left[(\beta^{\alpha} \circ \sigma)\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} \circ j^{1}\sigma + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial x^{i}} \circ \sigma + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial u^{j}} \circ \sigma \right)\frac{\partial \sigma^{j}}{\partial x^{i}} \right)\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}} \circ j^{1}\sigma \right]\star 1 \,

分部积分并考虑\sigma\,的紧支撑，临界条件变为

因为\beta^{\alpha}\,为任意函数，我们得到

:\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} \circ j^{1}\sigma - \frac{\partial}{\partial x^{i}} \left(\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}} \circ j^{1}\sigma \right) = 0\,

这些就是欧拉－拉格朗日方程组。

参看
*经典场论
*外代数
*纤维丛
*射流
*量子场论

参考
*Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
*Bocharov, A.V. [et al.] "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958
*De Leon, M., Rodrigues, P.R., "Generalized Classical Mechanics and Field Theory", Elsevier Science Publishing, 1985, ISBN 0-444-87753-3
*Griffiths, P.A., "Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations", Boston: Birkhauser, 1983, ISBN 3-764-33103-8
Gotay, M.J., Isenberg, J., Marsden, J.E., Montgomery R., [https://web.archive.org/web/20060115182621/http://www.math.hawaii.edu/~gotay/GIMMsyI.pdf Momentum Maps and Classical Fields Part I: Covariant Field Theory]*, November 2003
Echeverria-Enriquez, A., Munoz-Lecanda, M.C., Roman-Roy,M., [http://arxiv.org/PS_cache/dg-ga/pdf/9505/9505004.pdf Geometry of Lagrangian First-order Classical Field Theories]*, May 1995