微分形式
微分形式（）是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。 例如，一元微积分中的表达式 f(x) \ dx 是1-形式的一个例子，并且可以在 f 定义域内的一个区间 [a,b] 上进行积分： :\int_a^b f(x)\,dx. 类似地，表达式 f(x,y,z)\ dx \land dy + g(x,y,z)\ dz \land d…
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极小曲面
]] 极小曲面（）最初得名於尋找最小面積曲面的問題，而在現代数学中，則指平均曲率为零的曲面；這個定義意味著微小變動下，曲面面積的一階變分為零。在這個定義下，滿足某些約束條件下具有最小面積的曲面都是極小曲面。在物理学中的一個实例是將閉合線框沾入肥皂液拿出後，附著其上的肥皂泡。 例子 极小曲面的经典例子包括： 欧几里得平面，无特别约束条件下最平常的极小曲面； 悬链曲面：由悬链线围绕其水平准线旋转而得到的曲面。这是最早发现的“不寻常”的极小曲…
余切丛
微分几何中，流形的余切丛是流形每点的余切空间组成的向量丛。余切空间有一个标准的辛形式，从中可以一个余切丛的非退化的体积形式。因此，本身作为一个流形的余切丛总是可定向的。可以在余切丛上定义一组特殊的坐标系；这些被称为正则坐标。因为余切丛可以视为辛流形，任何余切丛上的实函数总是可以解释为一个哈密顿函数；这样余切丛可以理解为哈密顿力学讨论的相空间。 1-形式 余切丛的光滑截面是微分1-形式。 余切丛的定义 设M×M是M与自己的笛卡尔积。对角映…
卡拉比-丘流形
代数几何与微分几何中，卡拉比-丘流形（Calabi–Yau manifold）是第一陈类为0的紧n维凯勒流形（Kähler manifolds），也叫做*卡拉比-丘 n-流形。其是里奇平坦流形，在理论物理学中有应用；特别是在超弦理论中，时空的额外维度有时被猜测为6维卡拉比-丘流形的形式，从中产生了镜像对称等想法。“卡拉比-丘流形”的名称最早见于，得名于猜想这种曲面存在的、，与证明了卡拉比猜想的。 卡拉比-丘流形是复流形，是K3曲面在任意…
弗勒利歇尔-奈恩黑斯括号
在数学中，弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号（）是光滑流形上向量场的李括号到向量值微分形式的推广。它在研究联络，特别是埃雷斯曼联络，以及更一般的研究切丛的投影中很有用。此括号由阿尔弗雷德·弗勒利歇尔与于1956年引入，与斯豪滕1940年的工作有联系。 它与奈恩黑斯-理查德森括号和斯豪滕-奈恩黑斯括号相关但不是一回事。 定义 设 Ω(M) 是光滑流形 M 上微分形式的外代数。这是一个分次代数，其次数由形式的阶数给出： :\Omega^(M) = \…
球面
球面 （）是三维空间中完全圆形的几何物体，它是圆球的表面（类似于在二维空间中，“圆 ”包围着“圆盘”那样）。 就像在二维空间中的圆的定义一样，球面在数学上定义为三维空间中离给定的点距离相同的点的集合 。 这个距离 是球的半径 ，球（ball）则是由离给定点距离小于 的所有点构成的几何体，而这个给定点就是球心。球的半径和球心也是球面的半径和中心。两端都在球面上的最长线段通过球心，其长度是其半径的两倍；它是球面和球体的直径 。 尽管在数学之…
第二基本形式
微分几何中，第二基本形式（）是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式，通常记作 II。与第一基本形式一起，他们可定义曲面的外部不变量，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中或洛伦兹流形中，的一个光滑超曲面上，选取了一个光滑单位法向量场，则可定义这样一个二形式。 \mathbf{R}^3中曲面 引论 \mathbf{R}^3中一个参数曲面S的第二基本形式由高斯引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像，z=f(x,y)，且平面z=0与…
同调镜像对称
同调镜像对称是马克西姆·孔采维奇提出的数学猜想，为研究弦理论的物理学家首次观察到的镜像对称现象寻求一种系统的数学解释。 历史 在苏黎世国际数学家大会上发言，推测一对卡拉比-丘流形X、Y的镜像对称可以解释为由X的代数几何构造的三角范畴（X上凝聚层的导出范畴）和由Y的辛几何构造得三角范畴（导出深谷范畴）的等价性。 爱德华·威滕最初描述了将N=(2,2)超对称场论拓扑扭曲为他所谓A、B模型拓扑弦论，涉及从黎曼曲面到固定目标（通常是卡拉比-丘流…
斯托克斯定理
斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem），也被称作广义斯托克斯定理、斯托克斯–嘉当定理（Stokes–Cartan theorem）、旋度定理（Curl Theorem）、开尔文-斯托克斯定理（Kelvin-Stokes theorem），是微分几何中关于微分形式的积分的定理，因為維數跟空間的不同而有不同的表現形式，它的一般形式包含了向量分析的几个定理，以乔治·加布里埃尔·斯托克斯爵士命名。 ℝ³ 上的斯托克斯公式 旋度定理…
曲线的微分几何
曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。 从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet 标架，是一个活动标架，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。 曲线的理论比及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则…
完整群
微分几何中，一個微分流形上的联络的完整（，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。 流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和樂（稱為黎曼和樂）。向量丛聯絡的和樂、嘉当联络的和樂，以及主丛聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，…
张量场
在数学，物理和工程上，张量场（tensor field）是一个的非常一般化的几何变量的概念。它被用在微分几何和流形的理论中，在代数几何中，在广义相对论中，在材料的应力和应变的分析中，和在物理科学和工程的无数应用中。它是向量场和纯量场的想法的一般化，而向量场可以视为“从点到点变化的向量”。 物理学中场的一种。假如一个空间中的每一点的属性都可以以一个张量来代表的话，那么这个场就是一个张量场。最常见的张量场有广义相对论的应力能张量场（Stre…
信息几何
的统计流形。]] 信息几何是用微分几何研究概率论和统计学的交叉学科。 这门学科研究统计流形，即点与概率分布相对应的黎曼流形。 引言 从历史上看，信息几何可追溯到卡利安普迪·拉达克里希纳·拉奥的工作，他首先将费希尔矩阵视为黎曼度量。现代理论主要归功于甘利俊一，他的工作对该领域产生了重大影响。 经典的信息几何将有参概率模型视作黎曼流形。对于这类模型，可自然选择出黎曼度量，即费希尔信息度量。在概率模型为指数族时，有可能用黑塞度量（即凸函数的势…
包絡線
包絡線（Envelope）是幾何學裡的概念，代表一條曲線與某個曲線族中的每條線都有至少一點相切。（曲線族即一些曲線的無窮集，它們有一些特定的關係。） 設一個曲線族的每條曲線C_s可表示為t \mapsto (x(s,t),y(s,t))，其中s是曲線族的參數，t是特定曲線的參數。若包絡線存在，它是由s \mapsto ( x(s,h(s)), y(s,h(s)) )得出，其中h(s)以以下的方程求得： : \frac{\partial …
非交換幾何
非交換幾何（，简称）為數學的分支領域，內容為的幾何方法，以及由函数的非交换代数局部呈现的空间的构造。非交換代數是一種結合代數，而乘積不是交換性的，亦即xy不總是等於yx。更廣義地說，這是一種代數結構，其中主要二元運算之一為非交換的。拓樸學或範數等概念可以延伸到非交換幾何中。 通过算子代数（即希尔伯特空间上有界线性算子的代数），可以深入了解非交换空间。非交换空间的典型例子之一也许是非交换环面，在1980年代的领域发展早期发挥了关键作用，导…
泊松流形
在数学中，泊松流形（）是一个微分流形 M 使得 M 上光滑函数代数 C∞(M) 上装备有一个双线性映射称为泊松括号，将其变成泊松代数。 每个辛流形是泊松流形，反之则不然。 定义 M 上一个泊松结构（）是一个双线性映射 :\{,\}:C^\infty(M) \times C^\infty(M) \to C^\infty(M),\, 使得这个括号反对称： :\{f,g\}=-\{g,f\},\, 服从雅可比恒等式： :\{f,\{g,h\}…
伪黎曼流形
在数学物理学中，伪黎曼流形 也称为半黎曼流形，是一种可微流形，其度量张量处处非退化。这是黎曼流形的推广，其中放宽了正定性的要求。 伪黎曼流形的每个切空间都是伪欧几里得向量空间。 广义相对论中使用的一个特例是用于建模时空的四维洛伦兹流形，其中切向量可分为类时间、零和类空间。 介绍 流形 在微分几何中，可微流形是局部类似于欧氏空间的空间。在n维欧几里得空间中，任何一点都可以用n 个实数指定。这些被称为点的坐标。 n维可微流形是n维欧氏空间的…
殆复流形
在数学中，一个殆複流形（）是在每个切空间上带有一个光滑线性複结构的光滑流形。此结构的存在性是一个流形成为複流形的必要条件，但非充分条件。即每个複流形是一个殆複流形，反之则不然。殆複结构在辛几何中有重要应用。 此概念由埃雷斯曼与霍普夫于1940年代引入。 定义 设 M 是一个光滑流形。M 上一个殆複结构（）J 是在该流形每个切空间给出一个线性複结构（即平方为 -1 的线性映射），且在流形上光滑变化。换句话说，我们有一个秩为 (1,1) 的…
芬斯勒流形
芬斯勒流形(Finsler manifold)或芬斯勒几何(Finsler geometry)由瑞士數學家保羅·芬斯勒(Paul Finsler)在1918年的博士论文中提出。芬斯勒几何可以说是黎曼几何在取消掉二次型限制后的版本，与变分学密切相关。芬斯勒几何分為實數芬斯勒几何与複數芬斯勒几何，且在生物、工程、物理等领域有广泛应用。 芬斯勒流形是一个在每个切空间有巴拿赫(Banach)範數的微分流形，该巴拿赫范数是位置的光滑函数并满足以下…
流形
（球的表面）為二維的流形，由於它能夠由一群二維的圖形來表示。]] 在数学中，流形（）是一類可以局部欧几里得空间化的拓扑空间，即在此拓扑空间中，每个点附近都类似于欧氏空间。更精确地说，维流形或简称流形（）是指一種拓扑空间，其性质是每个点都有一个邻域同胚于维欧氏空间的某个开集。 直觀地說，流形可以在局部引入坐標，因此即使整體形狀彎曲或較複雜，在足夠小的範圍內仍可像平直空間一樣描述。流形是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广；欧几里得空间本…