微分几何中，一個微分流形上的联络的完整（，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。

流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和樂（稱為黎曼和樂）。向量丛聯絡的和樂、嘉当联络的和樂，以及主丛聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關，見安布羅斯-辛格定理。

對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由引入，以用於的分類上。然而，很久以後，和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年， 乔治·德拉姆證明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切丛可分解成局域和樂群作用下不變的子空間，則該流形分解為黎曼流形的笛卡儿积。稍後，於1953年， 給出所有不可約和樂的分類。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論。
定义
向量叢聯絡的和樂
設 M 為光滑流形，E 為其上的 k 維向量丛，∇ 為 E 上的聯絡。給定 M 上一點 x 和以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 該聯絡定義了一個平行移动映射 Pγ : Ex → Ex. 該映射是可逆線性映射，因此是一般线性群 GL(Ex) 的元素。∇ 以 x 為基點的和樂群定義為

:\operatorname{Hol}_x(\nabla) = \{P_\gamma \in \mathrm{GL}(E_x) \mid \gamma \text{ 为 以} \ \ x\text{ 为 基 点 的 环 圈 }\}.

以 x 為基點的限制和樂群是由環圈 γ 給出的子群\operatorname{Hol}^0_x(\nabla).

若 M 連通，則不同基點 x 的和樂群 僅相差 GL(k, R) 的共軛作用。更具體說，若 γ 為 M 中由 x 到 y 的路徑，則

:\operatorname{Hol}_y(\nabla) = P_\gamma \operatorname{Hol}_x(\nabla) P_\gamma^{-1}.

選取 Ex 的另一組基（即以另一種方式將 Ex 視為與 Rk 等同）同樣會使和樂群變成 GL(k, R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中（下同），可將基點略去，但倘如此行，則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的重要性質包括：

• \operatorname{Hol}^0(\nabla) 是 GL(k, R) 的連通李子群。
• \operatorname{Hol}^0(\nabla) 是 \operatorname{Hol}(\nabla) 的。
• 存在自然的滿群同態 \pi_1(M) \to \operatorname{Hol}(\nabla)/ \operatorname{Hol}^0(\nabla), 其中 \pi_1(M) 是 M 的基本群。該同態將同倫類 [\gamma] 映到陪集 P_{\gamma}\cdot\operatorname{Hol}^0(\nabla).
• 若 M 單連通，則 \operatorname{Hol}(\nabla) = \operatorname{Hol}^0(\nabla).
• ∇ 為平（即曲率恆零）当且仅当 \operatorname{Hol}^0(\nabla) 為平凡群。

在物理学中，威爾森迴圈是 tr(P)（特徵標理論的跡）。

主叢聯絡的和樂
主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 G 為李群，P 為仿緊光滑流形 M 上的主 G 叢。設 ω 為 P 上的聯絡。給定 M 中一點 x, 以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 以及 x 纖維上一點 p, 該聯絡定義了唯一的水平提升 \tilde\gamma : [0,1] \to P 使得 \tilde\gamma(0) = p. 水平提升的終點 \tilde\gamma(1) 未必是 p, 因為其可為 x 纖維上的另一點 p·g. 若兩點 p 和 q 之間有分段光滑的水平提升路徑連接，則稱 p ~ q. 如此，~ 是 P 上的等價關係。

ω 以 p 為基點的和樂群定義為

:\operatorname{Hol}_p(\omega) = \{ g \in G \mid p \sim p\cdot g\}.

若在定義中僅允許環圈 γ 的水平提升，則得到以 p 為基點的受限和樂群 \operatorname{Hol}^0_p(\omega). 其為和樂群\operatorname{Hol}_p(\omega) 的子群。

若 M 和 P 皆連通，則不同基點 p 的和樂群僅在 G 互為共軛。更具體說，若 q 是另一個基點，則有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 於是，

:\operatorname{Hol}_q(\omega) = g^{-1} \operatorname{Hol}_p(\omega) g.

特別地，

:\operatorname{Hol}_{p\cdot g}(\omega) = g^{-1} \operatorname{Hol}_p(\omega) g,

再者，若 p ~ q, 則 \operatorname{Hol}_p(\omega) = \operatorname{Hol}_q(\omega). 因此，有時可省略基點不寫，但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的若干性質包括：

\operatorname{Hol}^0_p(\omega) 是 G* 的連通李子群。
*\operatorname{Hol}^0_p(\omega) 是 \operatorname{Hol}_p(\omega) 的。
*存在自然的滿群同態\pi_1 (M) \to \operatorname{Hol}_p(\omega)/\operatorname{Hol}^0_p(\omega).

• 若 M 單連通，則 \operatorname{Hol}_p(\omega) = \operatorname{Hol}^0_p(\omega).

*ω 為平（即曲率恆零）当且仅当 \operatorname{Hol}^0_p(\omega) 為平凡群。

和樂叢
同上，設 M 為連通仿緊流形，P 為其上的主 G 叢，ω 為 P 上的聯絡。設 p ∈ P 為主叢上的任意一點。以 H (p) 表示 P 中可與 p 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 H (p) 連同其到 M 的投影也構成 M 上的主叢，且具有結構群 \operatorname{Hol}_p(\omega) （即 H (p) 是主 \operatorname{Hol}_p(\omega) 叢）。 此主叢稱為該聯絡 ω 經過 p 的和樂叢。ω 限制到 H (p) 上也是一個聯絡，因為其平行移動映射保持 H (p) 不變。故 H (p) 是該聯絡的約化主叢。此外，H (p) 任何真子叢都不被平行移動保持，所以其在該類約化主叢之中為最小。

與和樂群類似，和樂叢在環繞它的主叢 P 中等變。具體說，若 q ∈ P 是另一個基點，則有 g ∈ G 使得 q ~ p g（按假設，M 是路連通的）。故 H (q) = H (p) g. 於是，兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的，即：兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 g.

單延拓群
和樂叢 H (p) 是主 \operatorname{Hol}_p(\omega) 叢，因此受限和樂群 \operatorname{Hol}^0_p(\omega)（作為全個和樂群的正規子群）也作用在 H (p) 上。離散群 \operatorname{Hol}_p(\omega)/\operatorname{Hol}^0_p(\omega) 稱為聯絡的群。其作用在商叢 H(p)/ \operatorname{Hol}^0_p(\omega) 上。存在滿同態\varphi: \pi_1 \to \operatorname{Hol}_p(\omega)/\operatorname{Hol}^0_p(\omega), 使得 \varphi(\pi_1(M)) 作用在 H(p)/ \operatorname{Hol}^0_p(\omega) 上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示。

局域及無窮小和樂
若 π: P → M 為主叢，ω 為 P 的聯絡，則 ω 的和樂可限制到 M 的開集的纖維上。若 U 為 M 的連通開集，則將 ω 限制到 U 上可得叢 π−1U 的聯絡。該叢的和樂群記為 \operatorname{Hol}_p(\omega, U), 而受限和樂群則記為 \operatorname{Hol}^0_p(\omega, U), 其中 p 為滿足 π(p) ∈ U 的點。

若 U ⊂ V 為包含 π(p) 的兩個開集，則有包含關係

:\operatorname{Hol}_p^0(\omega, U)\subset\operatorname{Hol}_p^0(\omega, V).

p 點的局域和樂群定義為

:\operatorname{Hol}_p^*(\omega) = \bigcap_{k=1}^\infty \operatorname{Hol}_p^0(\omega,U_k),

其中 Uk 為任意一族滿足 \bigcap_k U_k = \pi(p) 的遞降（即 U_k \subset U_{k+1} \ \forall k ）連通開集。

局域和樂群有以下性質：

其為受限和樂群 \operatorname{Hol}^0_p(\omega) 的連通李子群。

每點 p 都有鄰域 V 使得 \operatorname{Hol}^_p(\omega) = \operatorname{Hol}^0_p(\omega, V). 局域和樂群僅取決於 p, 而非序列 U*k 的選取。

局域和樂群在結構群 G 的作用下等變，即對任意 g ∈ G, \operatorname{Hol}^_{pg}(\omega) = \operatorname{Ad} (g^{-1}) \operatorname{Hol}^_p(\omega).（注意由性質 1, 局域和樂群是 G 的連通李子群，故伴隨 Ad 有定義。

局域和樂群不一定有全域的良好性質，例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而，有以下的定理：

• 若局域和樂群的維數恆定，則局域和樂群與受限和樂群相等，即\operatorname{Hol}^*_p(\omega) = \operatorname{Hol}^0_p(\omega).

詞源
英文與「全純」（）相似，"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生（1817–1882）和（1819–1895）引入，來自希臘文（holos）和（morphē），意思分別是「全」、「形態」。

""與""的前半（holos）一樣。至於後半：

非常難在網絡上找出（或）的詞源。我找到（鳴謝普林斯頓的約翰·康威）：

我相信潘索（）最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中，若某種意義下，能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊，就叫一個和樂的 （""）系統，所以它的意思「整體法則」（""）很貼切。球在桌上滾動並不和樂，因為沿不同的路徑滾到同一點，可以使球的方向不同。然而，將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思，可能更多時解「數算」（）。它與我們的詞數字""來自同一個印歐詞根。

——S. Golwala

參見νόμος（nomos）和-nomy。

安布羅斯－辛格定理
安布羅斯－辛格定理（得名自）描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理，先考慮較熟知的情況，如仿射联络、切叢聯絡（或其特例列維－奇維塔聯絡）。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈，就會感受到曲率。

引入更多細節，若\sigma : [0, 1]\times [0, 1] \to M是M中某曲面的坐標表示，則向量V可以沿\sigma的邊界平行移動，由原點出發，先沿(x, 0)，再沿(1,y)，再(x, 1)（x反方向，即由1遞減至0），最後(0, y)，回到原點。此為和樂環圈的特例，因為向量V沿該圈平行移動的結果，相當於\sigma邊界的提升，對應的和樂群元素，作用在V上。當平行四邊形縮至無窮小時（即沿更小的平行四邊形圈，對應\sigma坐標中的區域[0, x] \times [0, y]，而x, y趨向於0），就會明確得到曲率。換言之，取平行移動映射於x = y = 0處的導數：

:\frac{D}{dx}\frac{D}{dy}V - \frac{D}{dy}\frac{D}{dx}V = R\left(\frac{\partial\sigma}{\partial x}, \frac{\partial\sigma}{\partial y} \right)V

其中R為曲率張量。所以，粗略而言，曲率給出閉環圈（無窮小平行四邊形）上的無窮小和樂。更嚴格地，曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之，R(X, Y)是\operatorname{Hol}_p(\omega)的李代數的元素。

一般來說，考慮結構群為G的主叢P \to M某聯絡的和樂。以\mathfrak g表示G的李代數，則聯絡的曲率形式是P上的\mathfrak g值2-形式\Omega。安布羅斯－辛格定理斷言：

\operatorname{Hol}_p(\omega)的李代數，是由\mathfrak g中所有形如\Omega_q(X,Y)的元素線性張成，其中q取遍所有可以用水平曲線(q \sim p)與p連接的點，而X, Y皆是q處的水平切向量。

亦可用和樂叢的說法，複述如下：

\operatorname{Hol}_p(\omega)的李代數，是\mathfrak g中形如\Omega_q(X, Y)的元素張成的線性子空間，其中q取遍H(p)的元素，而X, Y取遍q處的水平向量。

黎曼和樂
可約和樂與德拉姆分解
設x \in M為任意一點，則和樂群\mathrm{Hol}(M)作用在切空間T_x M上。視之為群的表示，則可能不可約，亦可能可約，即可以將T_x M分解成正交子空間的直和
:T_x M = T'_x M \oplus T*_x M,
而兩個子空間皆在\mathrm{Hol}(M)作用下不變。此時亦稱M可約。

設M為可約流形。上式說明，在每一點x處，切空間可以約化分解成 T'_x M 和T_x M，所以當x變動時，就定義出向量叢T' M和T M，兩者皆光滑分佈，且是弗比尼斯可積。兩個分佈的皆為子流形，換言之，子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察M，是笛卡爾積M' \times M*。重複上述分解，直到切空間完全約化，則得到（局部）德拉姆同構：

設M為單連通黎曼流形，又設在和樂群的作用下，T M = T^{(0)} M \oplus T^{(1)}M \oplus \cdots \oplus T^{(k)} M為切叢的完全約化分解，而和樂群在 T^{(0)} M 上的作用平凡（恆等映射），則M局部等距同構於乘積
:V_0\times V_1\times \cdots\times V_k,
其中V_0是歐氏開集，而每個V_i是T^{(i)} M的積分流形。更甚者，\mathrm{Hol}(M)是\mathrm{Hol}(M_i)的直積（M_i是T^{(i)}過某點的極大積分流形）。

若同時假設M（每點每個方向的測地線皆可無限延伸），則定理不僅局部成立，而是全域成立，且各M_i本身也是測地完備流形。

伯格分类
1955年，將不可約（並非局部等同積空間）、非對稱（並非局部地）、單連通的黎曼流形，可能具有的和樂群，完全分類。伯格分類表如下：

1965年，及同時研究和樂群為\mathrm{Sp}(n)\cdot \mathrm{Sp}(1)的流形，構造出其平行4形式。

於1966年最早引入和樂群為G_2或\mathrm{Spin}(7)的流形，他構造出全部平行形式，並證明該些流形皆為里奇平。

伯格原先的表中，未排除\mathrm{Spin}(9)（作為SO(16)的子群）。後來，迪米特里·阿列克謝耶夫斯基（）一人，與布朗（）、格雷（）二人，分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱，即與F_4/\mathrm{Spin}(9)局部等距同構，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現，見和{{link-en|Spin(7)流形|Spin(7) manifold|\mathrm{Spin}(7)流形}}。

注意\mathrm{Sp}(n)\subset SU(2n) \subset U(2n) \subset SO(4n)，故必為卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必為凱勒，而凯勒流形必可定向。

以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的證明解釋。另有一個簡單幾何證明，由卡洛斯·奧爾莫斯（）於2005年給出。第一步要證，若黎曼流形並非，而約化和樂在切空間上的作用不可約，則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面：上表所列各項，以及兩個額外情況，分別是\mathrm{Spin}(9)（作用於\mathbb R^{16}），以及U(1) \cdot \mathrm{Sp}(m)（作用於\mathbb R^{4m}）。最後，要驗證前者只能作為局部對稱空間（局部同構於的）的和樂群，而後者則根本不能作為和樂群出現。

伯格的原分類，尚有涵蓋非正定的偽黎曼度量，其給出非局部對稱和樂的可能列表為：

但是，標(*)的兩種和樂群（分裂\mathrm{Spin}(9)及複化\mathrm{Spin}(9)），如同正定的情況，只能在局部對稱空間出現，故應予刪去。至於複化和樂群SO(n, \mathbb C), G_2(\mathbb C), \mathrm{Spin}(7, \mathbb C)三種，可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為SO(n, \mathbb H)子群的流形，R. McLean證明其為局部平。

對稱黎曼空間，因為局部與齊性空間G/H同構，其局部和樂群同構於H，經已分類完畢。

最後，伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射联络的流形的可能和樂群，見下節。

特殊和樂及旋量
一些流形具特殊的和樂，該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃（平行旋量即協變導數為零的旋量場），尤其有以下各項命題成立：

• \mathrm{Hol}(\omega) \subseteq U(n)，當且僅當M上存在平行的射影純旋量場。
• 若M為，則\mathrm{Hol}(\omega)\subseteq SU(n)，當且僅當M具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上，平行純旋量場足以確定由結構群到SU(n)的典範歸約。
• 若M是七維旋量流形，則M具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是G_2的子群。
• 若M為八維旋量流形，則M具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是\mathrm{Spin}(7)的子群。

么正與特殊么正和樂經常連帶扭量理论、殆复流形原因是，特殊和樂流形上，存在共變常值（即平行）旋量，於是保一部分超对称。較重要的緊化是在具SU(2)或SU(3)和樂的卡拉比–丘流形上，以及上。

機器學習
在机器学习，尤其方面，曾有人提出，藉計算黎曼流形的和樂，得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構，其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限，無法完全準確計算出和樂群，但利用來自譜圖論的思想（類似向量），有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」（，簡寫「探地者」），能給出德拉姆分解的數值近似，並應用於現實數據。

仿射和樂
仿射和樂群（），是無撓仿射联络的和樂群；其中一些不能作為（偽）黎曼和樂群出現，稱為非度量和樂群（）。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群，所以離完成分類尚有很遠，但仍可以將不可約的仿射和樂分類。

伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中，發現對於的無撓仿射聯絡而言，和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則（）是安布羅斯－辛格定理（即曲率張量生成和樂的李代數，見前節）的後果；而第二準則，來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則，且作用不可約的群，可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。

但伯格的列表，其後證實並未齊全。（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有時稱為「怪和樂」（）。努力搜索例子之後，最終由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可約仿射和樂群的分類，而反方向的結果則由布萊恩特（2000年）證明，即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。

觀察到表中的群和、之間有聯繫之後，Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確，見於Schwachhöfer（2001）。

設V為有限維複向量空間，H \subseteq \mathrm{Aut}(V)為不可約半單複連通李子群，又設K\subseteq H為極大緊子群。

若有不可約埃爾米特對稱空間形如G/(U(1) \cdot K)，則H和\mathbb C^* \cdot H兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群，其中V為K的切表示。

若有不可約四元數凱勒對稱空間形如G/(\mathrm{Sp}(1) \cdot K)，則H為非對稱不可約仿射和樂群，而當\dim V = 4時，\mathbb C^* \cdot H亦然。此時，\mathrm{Sp}(1) \cdot K的複化切表示是\mathbb C^2 \otimes V，而H保V上某個複辛形式。

上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群，例外僅有：
: \begin{align}
\mathrm{Sp}(2, \mathbb C) \cdot \mathrm{Sp}(2n, \mathbb C)
&\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{2} \otimes\mathbb C^{2n}\right),\\
G_2(\mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^7\right),\\
\mathrm{Spin}(7, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^8\right).
\end{align}

利用埃爾米特對稱空間的分類，第一族的複仿射和樂群有：
: \begin{align}
Z_{\mathbb C} \cdot SL(m, \mathbf C) \cdot SL(n, \mathbf C)
&\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^m\otimes\mathbb C^n\right),\\
Z_{\mathbb C} \cdot SL(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\wedge^2\mathbb C^n\right),\\
Z_{\mathbb C} \cdot SL(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(S^2\mathbb C^n\right),\\
Z_{\mathbb C} \cdot SO(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^n\right),\\
Z_{\mathbb C} \cdot \mathrm{Spin}(10, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\Delta_{10}^+\right) \cong \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{16}\right),\\
Z_{\mathbb C} \cdot E_6(\mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{27}\right),
\end{align}
其中Z_{\mathbb C}可取平凡群，亦可取為\mathbb C^*。

同樣，用四元數凱勒對稱空間的分類，第二族複辛和樂群有：
: \begin{align}
\mathrm{Sp}(2, \mathbb C) \cdot SO(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^2\otimes\mathbb C^n\right),\\
(Z_{\mathbb C}\,\cdot)\, \mathrm{Sp}(2n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{2n}\right),\\
Z_{\mathbb C} \cdot SL(2, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(S^3\mathbb C^2\right),\\
\mathrm{Sp}(6, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\wedge^3_0\mathbb C^6\right)\cong \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{14}\right),\\
SL(6, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\wedge^3\mathbb C^6\right),\\
\mathrm{Spin}(12, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\Delta_{12}^+\right) \cong \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{32}\right),\\
E_7(\mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{56}\right).\\
\end{align}
（第二行中，Z_{\mathbb C}必須取為平凡群，除非n = 2，此時可取為\mathbb C^*。）

從以上各列表，可以觀察出一個結論，類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面：複和樂表示皆為。但是，未知此事實的概念性證明。

不可約實仿射和樂的分類，用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論，結合上表，仔細分析便得。

参见

• A-B效应

脚注
参考文献
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• 及其補遺

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