第二基本形式
微分几何中，第二基本形式（）是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式，通常记作 II。与第一基本形式一起，他们可定义曲面的外部不变量，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中或洛伦兹流形中，的一个光滑超曲面上，选取了一个光滑单位法向量场，则可定义这样一个二形式。 \mathbf{R}^3中曲面 引论 \mathbf{R}^3中一个参数曲面S的第二基本形式由高斯引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像，z=f(x,y)，且平面z=0与…
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完整群
微分几何中，一個微分流形上的联络的完整（，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。 流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和樂（稱為黎曼和樂）。向量丛聯絡的和樂、嘉当联络的和樂，以及主丛聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，…
黎曼曲率張量
在微分几何中，黎曼曲率张量（）或黎曼張量是表达黎曼流形的曲率的标准方式，更普遍的，它可以表示有仿射联络的流形的曲率，包括无扭率或有撓率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的，一个仿射联络)\nabla(或者叫协变导数)由下式给出: :R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w -\nabla_{[u,v]} w . 这里R(u,v)是一个流形切空间的线性变换；它对于每个参数都是线…
测地曲率
测地曲率：设P是曲線（C）上一点，\alpha是（C）在P点的单位切向量，\beta是主法向量，\gamma是副法向量。再设n是曲面S在P点的单位法向量。命\varepsilon = n \times \alpha。 曲线（C）在P点的曲率向量\ddot{r}=k\beta在\varepsilon上的投影（也就是在S上P点的切平面上的投影） k_{g}=\ddot{r}\cdot\varepsilon 称为曲线（C）在P点的测地曲率。 …
高斯曲率
），零高斯曲率曲面（圆柱面），和正高斯曲率曲面（球面）。]] 微分几何中，曲面上一点的高斯曲率是该点主曲率\kappa_1和 \kappa_2的乘积。它是曲率的内在度量，也即，它的值只依赖于曲面上的距离如何测量，而不是曲面如何嵌入到空间。这个结果是高斯绝妙定理的主要内容。 用符号表示，高斯曲率 K定义为 :\Kappa = \kappa_1 \kappa_2 \,\!. 也可以如下给出 : \Kappa = \frac{\langle …
里奇曲率張量
在微分幾何中，類似度量張量，里奇張量也是一個在黎曼流形每點的切空間上的對稱雙線性形式。以格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗（Gregorio Ricci-Curbastro）為名的里奇張量或里奇曲率張量（）。提供了一個數據去描述給定的黎曼度規（）所決定的體積究竟偏離尋常歐幾里得 n- 空間多少的程度。粗略地講，里奇張量是用來描述「體積扭曲」的一個值；也就是說，它指出了n-維流形中給定區域之n-維體積，其和歐幾里得n-空間中與其相當之區域的體…
曲率
在数学中，率（）即“弯曲度”，是描述几何体弯曲程度的量；直观地说，曲率是曲线偏离直线的量（程度），或是曲面偏离平面的量（程度）。 在不同的几何学领域中，曲率的具体定义不完全相同。曲率可分为外在曲率和内蕴曲率，二者有重要的区别。前者的定义需要把几何体嵌入到欧氏空间中，后者则是直接定义在黎曼流形上。 曲线的曲率通常是标量，但也可以定义曲率向量。对于更复杂的对象，曲率要用更复杂的线性代数来描述，例如一般的黎曼曲率张量。 平面曲线的曲率 曲率有…
最小曲线半径
最小曲线半径（Minimum curve radius），或称转弯半径，是陸上運輸工程中常用的技术标准，其意义等同几何学中的曲线半径。这个数字能够反映曲线的弯曲程度，其倒数稱為曲率，亦即（圓）曲線半徑越長，彎道的曲率就越小，彎度越緩。通常提及此技術標準的運輸工程，擁有封閉或優先權專用通道的特性，如鐵路及高速公路，常須設置圓曲線、複曲線、反向曲線、緩和曲線、豎曲線等各種曲線以順應地形。在工程上提及这个参数时，一般是指水平面上的弯道，对于垂…
截面曲率
在黎曼几何中，截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式。截面曲率K(\sigma_p) 依赖于p点的切空间裡的一个二维平面 \sigma_p 。它就定义为该截面，考慮在 p 点以平面 \sigma_p 作为切平面的曲面 S_p，這曲面是收集流形中某包含 p 的鄰域內從 p 点出發的測地線且這測地線在 p 點的切向量屬於截面 \sigma_p （換句話說就是 S_p=\exp_p U 其中 U\subseteq \sigma_p 是 \si…
主曲率
中在主曲率方向的法平面]] 在微分几何中，在曲面给定点的两个主曲率（）衡量了在给定点一个曲面在这一点的不同方向怎样不同弯曲的程度。 在曲面上取一点E，曲面在E点的法线为z轴，过z轴可以有无限多个剖切平面，每个剖切平面与曲面相交，其交线为一条平面曲线，每条平面曲线在E点有一个曲率半径。不同的剖切平面上的平面曲线在E点的曲率半径一般是不相等的。这些曲率半径中，有一个最大和最小的曲率半径，称之为主曲率半径，记作k_1与k_2，这两个曲率半径所…
曲率半径
在微分几何中，曲率半径是曲率的倒数。 对于曲线上一点，曲率半径等于最贴近该点曲线的圆弧半径。 对于曲面上一点，曲率半径是最贴合该点的法向截面或其组合的圆弧半径。 定义 对于空间曲线，曲率半径是曲率矢量的长度。 对于平面曲线，则曲率半径是曲线上固定一点的弧长的微分与切角的微分之比 R(t)= \frac{(b^2 \cos^2t + a^2\sin^2t)^{3/2}}{ab}\,, 其中\theta = \tan^{-1}\Big(\f…
扭率張量
在微分几何中，扭率或稱挠率此一概念是刻画沿着曲线移动的标架的扭曲或螺旋的方法。例如曲线的挠率，出现在弗莱纳公式中，量化了一条曲线变化时关于它的切向量的扭曲程度（更确切的说弗莱纳标架关于切向量的旋转）。在曲面的几何中，“测地挠率”描述了曲面关于曲面上一条曲线的扭曲。相伴的曲率概念度量了沿着曲线的活动标架“没有扭曲的转动”。 更一般地，在装备一个仿射联络（即切丛的一个联络）的微分流形上，挠率与曲率构成了联络的两个基本不变量。在这种意义下，挠…
总曲率
在数学中的曲线微分几何的研究中，一个浸入在平面上的曲线的总曲率是曲率的曲线积分： :\int_a^b k(s)\,ds. 闭曲线的总曲率是 2π 的整数倍，该整数称为曲线的指数或转数。其中转数是单位切向量关于起点的绕数，或者等价的高斯映射的次数。 局部不变量曲率和整体拓扑不变量指数的关系是高维黎曼几何的代表性结果，如高斯－博內定理。 不变量 根据惠特尼－格劳斯坦定理，总曲率在曲线的正则同伦下不变：总曲率是高斯映射的次数。然而，它不是同伦…
平均曲率
在微分几何中，一个曲面 S 的平均曲率（）H，是一个“外在的”弯曲测量标准，局部地描述了一个曲面嵌入周围空间（比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间）的曲率。 这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入。 定义 令 p 是曲面 S 上一点，考虑 S 上过 p 的所有曲线 C_i 。每条这样的 C_i 在 p 点有一个伴随的曲率 K_i。在这些曲率 K_i 中，至少有一个极大值 \kappa_1 与极小值 \kappa_2，这两个曲…
弗莱纳公式
。]] 在向量微积分中，弗勒内-塞雷公式（Frenet–Serret 公式）用来描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说，弗勒内公式描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。这一公式由法国数学家让·弗雷德里克·弗勒内（于1847年的博士论文中）和约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷（于1851年）分别提出。 单位切向量 T，单位法向量 N，单位副法向量 B，被称作 弗勒内标架，他们的具体定义如下： T 是单位切向量，方向指向…
曲线的挠率
在初等三维曲线的微分几何中，一条曲线的挠率（torsion，或译扭率）度量了其扭曲的程度，即偏离平面曲线的程度。空间曲线的曲率和挠率在一起，与平面曲线的曲率类似。例如，他们都是弗勒内标架的微分方程组中的系数，由弗勒内-塞雷公式给出。 定义 设 C 是一条用弧长参数s给出的空间曲线，单位切向量为\boldsymbol{t}。如果在某一点 C 的曲率\kappa不等于 0，那么主法向量和次法向量分别是 \mathbf{n}=\frac{\m…
数量曲率
在黎曼几何中，数量曲率（）或里奇数量（）是一个黎曼流形最简单的曲率不变量。对黎曼流形的每一点，数量曲率是由该点附近的内蕴几何确定的一个实数。 在 2 维数量曲率完全确定了黎曼流形的曲率；当维数 ≥ 3，曲率比数量曲率含有更多的信息。参见黎曼流形的曲率中完整的讨论。 数量曲率一般记为 S（其它记法有 Sc, R），定义为关于度量的里奇曲率张量的迹： :S = \mbox{tr}_g\,\operatorname{Ric}\ . 这个迹和度…
常曲率
数学上，微分几何中的常曲率是一个通常用于曲面的概念。对于那些曲面，标量曲率是决定局部几何特点的唯一数字，而它为常数显然表示曲面在所有点有相同几何结构。圆也称为具有常曲率，而且，以一种自然（但不同）的意义上是常曲率，因为一维流形内在曲率总是0，因而只有嵌入曲率。 有常曲率的标准曲面是有正曲率的椭圆几何（或者球面几何），有0曲率的欧氏几何，和有负曲率的双曲几何（伪球面几何）。因为黎曼曲面可以变为常曲率，因此对于负曲率存在大量其他的例子。 对…
曲率形式
微分几何中，曲率形式（）描述了主丛上的联络的曲率。它可以看作是黎曼几何中的曲率张量的替代或是推广。 定义 令 G 为一个李群，记 G 的李代数为 g。设 E\to B 为一个主 G-丛。令 \omega 表示 E 上一个埃雷斯曼联络（它是一个E上的 g-值 1-形式）。 那么曲率形式就是 E 上的 g-值 2-形式，定义为 :\Omega=d\omega +{1\over 2}[\omega,\omega]=D\omega. 这里 d …