张量积
在数学中，张量积，记为 \otimes，可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。 向量空间张量积的定义与构造 两个向量空间 和 间的张量积是指一个向量空间，通常记作 ，这个新向量空间可确定到至多相差一个同构。 有多种等价的方式来定义向量空间的张量积，其中大多数都是在显式地定义那个将被称作张量积 的向量空间，而对等价性的…
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共 18 篇文章
张量场
在数学，物理和工程上，张量场（tensor field）是一个的非常一般化的几何变量的概念。它被用在微分几何和流形的理论中，在代数几何中，在广义相对论中，在材料的应力和应变的分析中，和在物理科学和工程的无数应用中。它是向量场和纯量场的想法的一般化，而向量场可以视为“从点到点变化的向量”。 物理学中场的一种。假如一个空间中的每一点的属性都可以以一个张量来代表的话，那么这个场就是一个张量场。最常见的张量场有广义相对论的应力能张量场（Stre…
反对称张量
数学和理论物理学中，若一张量的符号（+/−）随着指标子集的互换而变化，则称此向量在指标子集上是反对称的（或相对于指标子集反对称）。指标子集一般必须是全协变或全反变的。 例如， T_{ijk\dots} = -T_{jik\dots} = T_{jki\dots} = -T_{kji\dots} = T_{kij\dots} = -T_{ikj\dots} 当张量对前三个指标反对称时成立。 若张量在交换每对指标时符号都变化，就称此向量是全…
張量
張量（）在数学中是一个代数对象，描述了与向量空间相关的代数对象集之间的多重线性映射。张量可以作为不同的对象之间的映射，例如向量、标量以及其他张量。张量有很多种类型，包括标量和向量、对偶向量、向量空间之间的多重线性映射，甚至还有一些运算，例如点积。张量的定义独立于任何基，尽管它们通常由与特定坐标系相关的基中的分量来表示；这些分量形成一个数组，可以将其视为高维矩阵。n維空間上的r階張量有n^r個分量，r也稱為該張量的秩（与矩阵的秩和阶均无关…
角速度
的速度以及該轉動發生當時的轉動軸方向。角速度向量的方向會在轉動軸方向上，在本例中（逆時針轉動）轉動向量是指向讀者的。]] 角速度（Angular velocity）是在物理学中定义为角位移的变化率，描述物体轉動時在单位时间内转过多少角度以及转动方向的向量，（更准确地说，是贗向量），通常用希腊字母\Omega或\omega来表示。 在国际单位制中，单位是弧度每秒（rad/s）。在日常生活，通常量度單位時間內的轉動週數，即是每分鐘轉速（rp…
张量代数
在数学中，一个向量空间V的张量代数（），记作T(V)，是V上的（任意阶）张量的代数，其乘法为张量积。张量代数左伴随于从代数到向量空间的遗忘函子，在这种意义下它是V上的自由代数；在相应的泛性质的意义下，它是包含V的“最一般的代数”（见下）。 张量代数也具有餘代数结构。 注：本文中所有代数都假设是有单位的且结合。 构造 设V是域K上一个向量空间。对任何非负整数k，我们定以V的*k次张量积*为V与自己的k次张量积： :T^kV = V^{\o…
拉回 (微分几何)
在微分几何中，拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设 \phi: M\rightarrow N 是从光滑流形 M 到 N 的光滑映射；那么伴随有一个从 N 上 1- 形式（余切丛的截面）到 M 上 1-形式的线性映射，这个映射称为由 \phi 拉回，经常记作 \phi^。更一般地，任何 N 上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由 \phi 拉回到 M 上。 当映射 \phi 是微分同胚，那么拉回与…
柯西应力张量
柯西应力张量（，通常以\boldsymbol\sigma\,\!表示），又称为真实应力张量（），是连续介质力学里用现时构形描述的二阶应力张量，以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名。该张量为对称张量，其九个分量（六个独立分量）表示某一点的应力状态。假设n为单位方向矢量，T(n)为通过与n垂直平面的应力矢量，则T(n)与n之间的关系为 :\mathbf{T}^{(\mathbf n)}= \mathbf n \cdot\boldsym…
馬克士威應力張量
在電磁學裏，馬克士威應力張量(Maxwell stress tensor)是描述電磁場帶有之應力的二階張量。馬克士威應力張量可以表現出電場力、磁場力和機械動量之間的相互作用。對於簡單的狀況，例如一個點電荷自由地移動於均勻磁場，應用勞侖茲力定律，就可以很容易地計算出點電荷所感受的作用力。但是，當遇到稍微複雜一點的狀況時，這很普通的程序會變得非常困難，方程式洋洋灑灑地一行又一行的延續。因此，物理學家通常會聚集很多項目於馬克士威應力張量內，然…
张量 (内蕴定义)
在数学中，处理张量理论的现代无分量（）方法首先将张量视为抽象对象，表示多重线性概念的某些特定类型。他们一些熟知的性质可由作为线性映射或更广泛地定义得出；而张量的操作导致了线性代数扩张为多重线性代数。 在微分几何中，一个内蕴的几何论断也许可以用一个流形上的张量场表示，这样完全不必使用参考坐标系。在广义相对论中同样如此，张量场描述了物理性质。无分量方法在抽象代数与同调代数中也很常用，在那里张量自然地出现了。 用向量空间的张量积定义 给定域F…
抽象指标记号
抽象指标记号（）是由罗杰·彭罗斯发明的一种用来表示张量与旋量的数学记号。与不带指标的字母（如T）表示张量相比，这种表示法能够显示张量的类型，同时可清楚地表明缩并等运算。而与用分量（张量在某一特定基底下的分量）表示张量不同，该表示法与特定的基底无关，可以表示出张量等式。 假定V为向量空间，V是其对偶空间。定义二阶协变张量h\in V^\otimes V^，则h是V上的双线性映射，即可表示为（以两个“槽”表示V中的两个变量）： :h = h…
電極化率
在電磁學裏，介電質因響應外電場的施加而極化的程度，可以用電極化率（，\chi_e ）來衡量。電極化率又可以用來計算物質的電容率。因此，電極化率會影響這物質內各種其它可能發生的現象，像電容器的電容、光波傳播於物質內部的光速等等。 對於均向性、線性的介電質，電極化率\chi_e可透過電極化強度\mathbf{P}和電場\mathbf{E}定義： :\mathbf{P}=\varepsilon_0\chi_e\mathbf{E} ； 其中\v…
扭率張量
在微分几何中，扭率或稱挠率此一概念是刻画沿着曲线移动的标架的扭曲或螺旋的方法。例如曲线的挠率，出现在弗莱纳公式中，量化了一条曲线变化时关于它的切向量的扭曲程度（更确切的说弗莱纳标架关于切向量的旋转）。在曲面的几何中，“测地挠率”描述了曲面关于曲面上一条曲线的扭曲。相伴的曲率概念度量了沿着曲线的活动标架“没有扭曲的转动”。 更一般地，在装备一个仿射联络（即切丛的一个联络）的微分流形上，挠率与曲率构成了联络的两个基本不变量。在这种意义下，挠…
有限应变理论
有限应变理论（finite strain theory）也稱為大應變理論或大形變理論，是连续介质力学中處理有較大應變或轉動的形變，已不符合无限小应变理论假設下的理論。此情形下，物體在未形變的組態及已形變的組態有明顯的不同。有限应变理论常用於弹性体、塑性變形材料、流体及生物軟組織。 位移場 位移梯度張量 位移梯度張量（deformation gradient tensor）\mathbf F(\mathbf X,t) = F_{jK} \…
指标的上升和下降
在数学与数学物理中，给定流形 M 上一个张量，若在 M 已有一个非退化形式（比如黎曼度量或闵可夫斯基度量），我们可将指标上升或下降：将一个 (k, l) 张量变成一个 (k+1, l-1) 张量（上升）或一个 (k-1, l+1) 张量（下降）。 这里记号 (k, l) 用于表示张量的秩 k+l，有 k 个上指标和 l 个下指标。 可以这样做：将张量乘以共变或反变度量张量，然后做缩并。下文在对重复指标 j 求和时使用爱因斯坦记号。 乘以…
雷诺应力
在流体动力学中，雷诺应力是流体中总应力张量的分量，该分量是通过对Navier-Stokes方程进行平均运算获得的，以解释流体动量的湍流波动。 定义 使用雷诺分解可以将流速场分为平均部分和波动部分。我们有 : u_i = \overline{u_i} + u_i',\, \mathbf{u}(\mathbf{x},t)是具有分量的流速矢量u_i在里面x_i坐标方向（与x_i表示坐标向量的分量\mathbf{x} ）。平均速度\overli…
音乐同构
在数学中，特別是黎曼幾何跟微分流形的理論裡，音乐同构（ 或典范同构 ）是指（伪）黎曼流形 M 的切丛 TM 与余切丛 T^{}M 之间的同构，这个同构由黎曼度量给出。不過一般地，只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式（比如辛流形上的辛形式）便可定义这样的同构。在帶有內積（或更一般的，非退化的雙線性形式）的有限維向量空間 V，這些同構自然給出了 V 和其對偶空間 V^ 之間的同構，在這種情況一般稱這些映射為典範同構（canonica…
并矢积
在数学特别是双线性代数中，有同样维度的两个向量 \mathbf{u} 和 \mathbf{v} 的并矢积 :\mathbb{P} = \mathbf{u}\otimes\mathbf{v} 是这些向量的张量积，而结果是阶为 2 的张量。 分量 关于选定的基 \{\mathbf{e}_i\}，并矢积 \mathbb{P} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} 的分量 P_{ij} 可以定义为 :P_{ij} = …