霍普夫代數
在數學中，霍普夫代數（英文: Hopf algebra）是一類雙代數，亦即具有相容的結合代數與餘代數結構的向量空間，配上一個對極映射，後者推廣了群上的逆元運算 g \mapsto g^{-1}。霍普夫代數以數學家海因茨·霍普夫命名，此類結構廣見於代數拓撲、群概形、群論、量子群等數學領域。 定義 所謂霍普夫代數，是指一個域 K 上的雙代數 (H, \nabla, \Delta, \eta, \epsilon)，配上一個線性映射 S: H …
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共 7 篇文章
张量代数
在数学中，一个向量空间V的张量代数（），记作T(V)，是V上的（任意阶）张量的代数，其乘法为张量积。张量代数左伴随于从代数到向量空间的遗忘函子，在这种意义下它是V上的自由代数；在相应的泛性质的意义下，它是包含V的“最一般的代数”（见下）。 张量代数也具有餘代数结构。 注：本文中所有代数都假设是有单位的且结合。 构造 设V是域K上一个向量空间。对任何非负整数k，我们定以V的*k次张量积*为V与自己的k次张量积： :T^kV = V^{\o…
泛包絡代數
在數學中，我們可以構造任意李代數 L 的泛包絡代數 U(L)。李代數一般並非結合代數，但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上，泛包絡代數可以解釋為李群上的左不變微分算子。 泛性質 以下固定域 K。首先注意到：對任意帶乘法單位元的 K-結合代數 U，定義括積 [a,b] := ab -ba，可視 U 為李代數。 泛包絡代數係指帶單位元的結合代數 U(L) 及一個指定的李代數同態 …
量子群
在數學物理中，量子群(quantum group)是一系列代數結構的通稱，是霍普夫代數之特例，可以看作q-量子化的李代數。雖其名中有一「群」字，但量子群不是群。量子群表示理論可產生杨-巴克斯特方程解；以此可以構造紐結的不變量。 参考文献 *Vyjayanthi Chari / Andrew Pressley (1995),《A Guide to Quantum Groups》，劍橋大學出版社，ISBN 0521558840
雙代數
在數學中，域 K 上的雙代數是兼具 K 上之結合代數（具單位元）與餘代數的結構，而且這兩種結構彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代數。 定義 相容性意味著餘乘法與餘單位元都是單位結合代數的同態，這也等價於乘法及單位元是餘代數之同態，因為兩者由相同的交換圖刻画。 由單位圖表的對稱性，也可導出下述事實：如果 B 是雙代數，而且 B 具有良好的對偶空間 B^\vee（例如當 B 維度有限時），則 B^\vee 也帶有自然的雙代數結構。 圖表 …
餘代數
在數學中，餘代數是帶單位元的結合代數的對偶結構，後者的公理由一系列交換圖給出，將這些圖中的箭頭反轉，便得到餘代數的公理。 餘代數的概念可用於李群及群概形等領域中。 定義 形式上來說，域 K 上的餘代數是一個 K-向量空間 C 及 K-線性映射 \Delta : C \to C \otimes_K C（餘乘法）與 \epsilon : C \to K（餘單位元），使得： (\mathrm{id}_C \otimes \Delta) \ci…
德林斐特量子对
德林斐特量子對（Drinfeld quantum double、Drinfeld double或quantum double）是數學家德林斐特於1986年柏克萊國際數學家大會上提出的一種代數結構，由有限維霍普夫代數 A 以及其對偶 A^製作出新的霍普夫代數，還自動包含半三角結構。量子對是量子群理論中極重要的建構。 在向量空間的層次上，量子對同構於張量積 A \otimes A^，這個代數結構相當複雜。設 (A, S) 為域 k 上的有限…