德林斐特量子對（Drinfeld quantum double、Drinfeld double或quantum double）是數學家德林斐特於1986年柏克萊國際數學家大會上提出的一種代數結構，由有限維霍普夫代數 A 以及其對偶 A^*製作出新的霍普夫代數，還自動包含半三角結構。量子對是量子群理論中極重要的建構。
在向量空間的層次上，量子對同構於張量積 A \otimes A^，這個代數結構相當複雜。設 (A, S) 為域 k 上的有限維霍普夫代數，假定 S 可逆，並設 \phi(,): A \otimes A^ \to k 為 A 與 A^* 的自然配對。下列性質確定了量子對上唯一的霍普夫代數結構：
- 自然映射 A \to A \otimes 1 \subset A \otimes A^ 與 A^ \to 1 \otimes A^ \subset A \otimes A^ 是霍普夫代數的同構。
- \forall a \in A, b \in A^*, \; (a \otimes 1) \cdot (1 \otimes b) = a \otimes b
- 承上，(1 \otimes b) \cdot (a \otimes 1) = \sum_{(a),(b)} \phi(S^{-1}(a_{(1)}), b_{(1)}) \phi(a_{(3)}, b_{(3)}) a_{(2)} \otimes b_{(2)}
任取一組基 a_i \in A 及其對偶基 b_i \in A^*。元素
: R := \sum_i (1 \otimes a_i) \cdot (b_i \otimes 1) \in \mathcal{D}_\phi(A, A^*)^{\otimes 2}
與基的選取無關，並滿足
- R 可逆。
- R \cdot \Delta(-,-) = \Delta^\mathrm{op}(-,-) \cdot R
- \Delta \otimes \mathrm{id} = R_{13}R_{23}
- \mathrm{id} \otimes \Delta = R_{13}R_{12}
是故 R 給出了 A \otimes A^ 上的半三角結構。通常將此量子對記為 \mathcal{D}_\phi(A, A^)。
參考資料
- C. Kassel, M. Rosso, V. Turaev, Quantum groups and knot invariants, Panoramas et Syntheses, no. 5 (1997), Société Mathématique de France, ISBN 2-85629-055-8.
- Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley (1994) : A Guide to Quantum Groups, ISBN 0521558840
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