雙代數

在數學中，域 K 上的雙代數是兼具 K 上之結合代數（具單位元）與餘代數的結構，而且這兩種結構彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代數。

定義
相容性意味著餘乘法與餘單位元都是單位結合代數的同態，這也等價於乘法及單位元是餘代數之同態，因為兩者由相同的交換圖刻画。

由單位圖表的對稱性，也可導出下述事實：如果 B 是雙代數，而且 B 具有良好的對偶空間 B^\vee（例如當 B 維度有限時），則 B^\vee 也帶有自然的雙代數結構。

圖表
定義中的相容性由以下交換圖給出：

乘法與餘乘法相容：
:

乘法與餘單位元相容：
:

餘乘法與單位元相容：
:

單位元與餘單位元相容：
:

在此 \nabla_B: B \otimes_K B \to B 是代數乘法，而 \eta_B: K \to B 是代數之單位元。\Delta_B: B \to B \otimes_K B 是餘代數乘法，而 \epsilon_B: B \to K 是餘代數單位元。\tau_B: B \otimes B \to B \otimes B 定義為 \tau(x \otimes y) = y \otimes x。

式子
若以算式具體描述，則相容關係有如下之表示（在此採用省略 \Sigma 之 Sweedler 記法）：

乘法與餘乘法相容：
:(ab)_{(1)}\otimes (ab)_{(2)} = a_{(1)}b_{(1)} \otimes a_{(2)}b_{(2)}\,

乘法與餘單位元相容：
:\varepsilon(ab)=\varepsilon(a)\varepsilon(b)\;

餘乘法與單位元相容：
:1_{(1)}\otimes 1_{(2)} = 1 \otimes 1 \,

單位元與餘單位元相容：
:\varepsilon(1)=1.\;

在此我們省略代數乘法之映射 \nabla，而直接以兩項並置表之。同理，單位元 \eta 直接以單位元素 1 表示（對應到 \eta(1)）。

相關文獻

• Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0

參見

• 霍普夫代數
• 餘代數
• 結合代數