在數學中，我們可以構造任意李代數 L 的泛包絡代數 U(L)。李代數一般並非結合代數，但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上，泛包絡代數可以解釋為李群上的左不變微分算子。
泛性質
以下固定域 K。首先注意到：對任意帶乘法單位元的 K-結合代數 U，定義括積 [a,b] := ab -ba，可視 U 為李代數。
泛包絡代數係指帶單位元的結合代數 U(L) 及一個指定的李代數同態 i: L \to U(L)。這對資料由下述泛性質刻劃：
對任意帶乘法單位元的 K-結合代數 A， 若存在李代數同態
: h: L \to A。
則存在唯一的代數同態
: g: U(L) \to A
使之滿足
: g \circ i = h
換言之，函子 L \mapsto U(L) 滿足下述關係：
: \mathrm{Hom}_{\mbox{Alg.}}(U(L), A) \stackrel{\sim}{\to} \mathrm{Hom}_{\mbox{Lie alg.}}(L, A)
: g \mapsto g \circ i
藉此，可視 U(-) 為 U（單位結合代數）\mapsto U（李代數）的左伴隨函子。
構造方式
首先考慮張量代數 T(L)，此時有自然的包含映射 i_0: L \to T(L)。取 I \subset T(L) 為下列元素生成的雙邊理想
: a \otimes b - b \otimes a - [a,b] \quad (a,b \in L)
定義
:U(L) := T(L)/I
所求的映射 i: L \to U(L) 為 i_0: L \to T(L) 與商映射的合成。容易驗證 i 保存李括積。
根據上述構造，可直接驗證所求的泛性質。
基本性質
- 若 L 可交換，則 U(L) 亦然；此時 U(L) 同構於多項式代數。
- 若 L 來自李群 G，則 U(L) 可理解為 G 上的左不變微分算子。
- U(L) 的中心 Z(U(L)) 顯然包含 i(Z(L))，但不僅如此，通常還包括更高階的元素，例如喀希米爾元素；這種元素給出李群上的拉普拉斯算子。
庞加莱-伯克霍夫-维特定理
庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數 L 的基 X_1, \ldots, X_n，此定理斷言
: X_1^{e_1} \cdots X_n^{e_n} \quad (e_1, \ldots, e_n \in \Z_{\geq 0})
是 U(L) 的基。此定理的直接推論是：i: L \to U(L) 為單射。
表示理論
在泛性質中取 A = \mathrm{End}(V)，其中 V 為任意向量空間，遂可等同 L 的表示與 U(L) 的表示，後者不外是 U(L)-模。藉此觀點，李代數表示理論可視為模論的一支。
群代數之於群表示一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數結構。
文獻
- Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6
评论 (0)