李型群
在数学中，特别是在群论中，李型群这一短语通常指的是与在有限域中取值的约化线性代数群的有理点群密切相关的有限群。李型群这一短语并没有一个被广泛接受的精确定义，但李型有限单群的重要集合却有一个精确的定义，它们构成了有限单群中的大部分群。 之所以称为李型群，是因为它们与（无限）李群关系密切，因为一个紧李群可以看作是实数场上的一个约化线性代数群的一些有理点。和是李型群的标准参考文献。 典型群 这个问题最早的解决方案来自对有限域和其他域上所谓的“…
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共 19 篇文章
基灵矢量场
基灵矢量场，基灵矢量或基灵矢量场（），以德国数学家威尔海姆·基灵命名，是定义在黎曼流形或伪黎曼流形上的一组矢量场，流形的度规在这组矢量的方向上能够保持不变。基灵矢量是等距同构的无穷小生成元，即由基灵矢量场生成的流包含有一种对称性，也就是说流形在基灵矢量场的方向上进行平移不会改变其上点与点之间的距离。一个简单的例子是一个圆周上具有相同长度并且指向顺时针方向的矢量场即是一个基灵矢量场，因为将圆周上的点沿这些方向平移等同于顺时针转动这个圆周而…
頂點算子代數
數學中的頂點算子代數（，縮寫：VOA）為一代數結構，於二維共形場論及弦論扮演了非常重要的角色，此外並應用在物理上，而頂點算子代數在基礎數學方面更已經被證實其用處，如在怪獸月光理論及幾何朗蘭茲綱領。 因著Igor Frenkel曾提出想構造一無限維李代數，1986年由理查德·博赫兹(Richard Borcherds)提出一個相關的名詞 頂點代數，在這樣的路徑發展後，人們允以附絡向量之頂點算子作用之Fock 空間，而Borcherds 透…
维特代数
在数学中，复维特代数（）是黎曼球面上某些亚纯向量场組成的李代数，其滿足：存在某兩個固定點，使各個向量場在該兩點以外皆處處全纯。它也是圆上多项式向量场的李代数和环C [ z, z − 1 ] 的導子李代数的复化。維特代數得名於。 有限域上的相关的李代数，也称为Witt代数。 复Witt代数由 Cartan (1909) 首先定义，Witt在1930 年代研究了有限域上的类比。 基础 Witt代数的基由向量场L_n=-z^{n+1} \fr…
夏皮罗引理
夏皮罗引理（）是李代數上同調論中的一條定理。 假設 : g 是李代數 : M 是g-模 : C.(g,M) 是Chevalley鏈序列(([//en.wikipedia.org/wiki/Chevalley complex en:Chevalley complex]))， 这样 : g 的上同調 Hn(g,M) 定義為 C. 的上同調。 再假設 : h 是 g 的子代數 : M 是 h-模 : CoindhgM := HomU(h)(U…
Sugawara構造
菅原構造（）是共形場論中的一个構造，用流來表示出應力-能量張量： :T_{zz}(z) \sim \sum_a j^a_z (z) j^a_z(z) 菅原構造是Wess-Zumino-Witten理論的基本。 用表示論的说法，若被\hat\mathfrak{g}、一般（即是非critical level）的最高權(highest weight )表示 V ，这样菅原構造構造會在 V 这里定義出維拉宿代數的表示結構。 参考来源 Victo…
李代數
数学上，李代数是一个代数结构，主要用于研究像李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。“李代数”（以索菲斯·李命名）一词是由赫尔曼·外尔在1930年代引入的。在旧文献中，无穷小群指的就是李代数。 定义 李代數是一个在域 F 上的向量空間 \mathfrak{g}，具有满足以下条件的二元運算 [\cdot,\cdot]:\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}（…
泛包絡代數
在數學中，我們可以構造任意李代數 L 的泛包絡代數 U(L)。李代數一般並非結合代數，但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上，泛包絡代數可以解釋為李群上的左不變微分算子。 泛性質 以下固定域 K。首先注意到：對任意帶乘法單位元的 K-結合代數 U，定義括積 [a,b] := ab -ba，可視 U 為李代數。 泛包絡代數係指帶單位元的結合代數 U(L) 及一個指定的李代數同態 …
根系 (数学)
在數學中，根系是歐幾里得空間中滿足某些公理的向量配置。根系在李群、李代數與代數群理論中格外重要；而根系分類的主要工具──鄧肯圖，也見諸奇异性理论等與李群並無顯著關係的學科。 定義 設 V 為有限維實向量空間，並賦予標準的內積 (,)。V 中的根系是有限個向量（稱為根）構成的集合 \Phi，滿足下述條件： \Phi 的元素張出 V。 對任一 \alpha \in \Phi，其屬於 \Phi 的純量倍數只有 \pm \alpha。 對任意 …
外尔群
在數學裡，尤其是在李群的理論中，一根系的外尔群是指經由正交於根之超平面的鏡面而產生之根系的等距同構群之子群。例如，根系A2包含中心為原點之正六邊形的角。根系的對稱之整個群因此是有12階的二面體群。外尔群產生於將六邊形平分成兩半的線之鏡射；其為6階的二面體群。 半單李群、半單李代數和半單線性代數群等之外尔群為群或代數之根系的外尔群。 除去由Φ的根所定義之超平面會將歐幾里得空間切成有限個開領域，此領域稱為外尔腔。這些領域可以被外尔群的群作用…
嘉當矩陣
在數學中，嘉當矩陣是由法國數學家埃利·嘉當引入的一類特別矩陣，最大的應用在於李代數的分類理論。在有限維代數的表示理論中，嘉當矩陣另有其它意義。 李代數 所謂廣義嘉當矩陣是具有下述性質的方陣 A=(a_{ij})： 各項皆為整數：\forall i,j, \; a_{ij} \in \mathbb{Z}。 對角線上的項等於二：\forall i, \; a_{ii}=2。 非對角線項非正：i \neq j \Rightarrow a_{i…
嘉当子代数
在数学中，嘉当子代数（Cartan subalgebra，缩写为 CSA），是一个李代数 \mathfrak{g} 的自正规化（如果 [X,Y] \in \mathfrak{h} 对所有 X \in \mathfrak{h}，那么Y \in \mathfrak{h}）、幂零子代数，通常用 \mathfrak{h} 表示。 存在性和唯一性 当基域是无限域时，有限维李代数的嘉当子代数总是存在的。如果基域是代数闭的且特征为零，那么对给定的有限…
比安基分类
数学中，比安基分类（），以路易吉·比安基命名，将3维实李代数分为11类，其中9个是单独的组，另两类具有连续统同构类。（有两个组有时也包含在无穷族中，从而分为9类。）“比安基分类”也用于其它维数的类似分类。 小于3维之分类 0维：惟一的李代数是阿贝尔李代数 R0。 1维：惟一的李代数是阿贝尔李代数 R1，其外自同构群是非零实数群。 2维：有两个李代数： ::(1) 阿贝尔李代数 R2，其外自同构群为 GL2(R)。 ::(2) 秩为零的 …
Ado定理
在抽象代數中，Ado定理指出每一個有限維的，在一個零特徵的域K上的李代數L都可被看作是一個用交換子李括號定義的關於方塊矩陣的李代數。更為準確地說，定理指出L在K上有一個在有限維向量空間V上的忠實線性表示，使得L與一個V自同态的子代數同構。 雖然對於典型群的李代數而言，這個結果並不特別，但對於一般情況這則是一個深刻的結果。在應用到一個李群G的實李代數上時，該定理並不指出G有一個忠實的線性表示（這一般是不正確的），而是指出G總是有一個線性表…
振盪器代數
振盪器代數(oscillator algebra)也叫海森堡代數，是一种無限維複李代數，是一种無限維交換代數的中心擴張；可以用無限維Foch 空間上的微分算子來表示，可以用來描述一部量子調和振盪器。 定義 海森堡代數 A是种複李代數，有基: \{\hbar, a_n ; n\in\mathbb{Z} \} 和交換關係式 [\hbar , a_n]=0 [a_m,a_n] = m \delta_{m+n} \hbar ; m, n \in…
李雙代數
李雙代數（Lie bialgebra）是一種代數結構，比一般李代數精細一倍：它本体是李代數，它的對偶空間也是李代數，且兩種結構相容。李雙代數是泊松李群（Poisson-Lie group）的李代數（即可以當作是無限小的柏松－李變換）。 定義 上循環d：d係一g⊗g 值「１－上循環」(1-cocycle)，即符号條件： :: d[X,Y] = (adX⊗1+1⊗adX)d(Y)-(adY⊗1+1⊗adY)d(X) ； ::: 其中 X同Y…
李代数上同调
在数学中，李代数上同调是李代数的一种上同调理论，由谢瓦莱和艾伦伯格为了对紧李群的拓扑空间的上同调进行代数构造而建立。在上文提及的论文中，一个特定的被称作的特殊复形，在李代数的模上定义，而其上同调则以一般形式被构造。 动机 令G为一个紧李群，则其被对应的李代数完全确定，因此由李代数来确定李群上同调应为可能的。我们使用如下的构造。注意到李群的上同调是G上的微分形式构成的复形对应的德拉姆上同调，而这个复形可以被替换为等变微分形式的复形，而后者…
维拉宿代数
维拉宿代數（Virasoro algebra）是單位圓上微分算子所組成的李代數的，在複數域上的無限維李代數。這與關係密切（參看Sugawara構造）。Virasoro 代數的么正表示描繪兩維共形場論的對稱性。 定義 维拉宿代數是一李代數，生成元是 {L_n : n\in\mathbb{Z}}, c ， 符合：[L_m,L_n] = (m-n) L_{m+n} + \delta_{m+n} \frac{(m^3-m)}{12} c 推导 …
半單李代數
在數學中，單李代數是除了零和本身之外沒有其它理想的李代數。半單李代數是指能表為單李代數的直和的李代數。若一個李代數能表為半單李代數與阿貝爾李代數的直和，則稱之為約化李代數。半單李代數與約化李代數是李代數研究中的主要對象。 設 \mathfrak{g} 為李代數，其半單性有下述刻劃： \mathfrak{g} 能表為單李代數之直和。 Killing 形式 B(x,y) := \mathrm{Tr}(\mathrm{ad}X \, \mat…