维拉宿代數（Virasoro algebra）是單位圓上微分算子所組成的李代數的，在複數域上的無限維李代數。這與關係密切（參看Sugawara構造）。Virasoro 代數的么正表示描繪兩維共形場論的對稱性。
定義
维拉宿代數是一李代數，生成元是
*{L_n : n\in\mathbb{Z}},
*c ，
*符合：[L_m,L_n] = (m-n) L_{m+n} + \delta_{m+n} \frac{(m^3-m)}{12} c
推导
维拉宿代數可以被认为是以下 的 :
[l_m,l_n]=(m-n)l_{m+n},
[\bar{l}_m,\bar{l}_n]=(m-n)\bar{l}_{m+n},
[l_m,\bar{l}_n]=0.
对于一李代数\ {\bf g}, 其在复数域\ {\bf C}的 central extension\ \tilde{g} 满足下列交换子:
[\tilde{x},\tilde{y}]_{\tilde{g}}=[x,y]_{g}+c p(x,y),
[\tilde{x},c]_{\tilde{g}}=0,
[c,c]_{\tilde{g}}=0,
其中\ \tilde{x},\tilde{y}\in\tilde{g}, x,y\in g, c\in{\bf C}, p:\tilde{g}\times\tilde{g}\rightarrow{\bf C}. 由此定义, 维拉宿代數的生成元满足以下交换子
[L_m,L_n] = (m-n) L_{m+n} +c p(m,n).
p(m,n)可以由以下条件决定:
- 交换子必须是反对易的, 所以p(m,n)=-p(n,m)
- 可以观察到, 如果定义以下生成元
\hat{L}_n=L_n+\frac{cp(n,0)}{n}, n\neq0
\hat{L}_0=L_0+\frac{cp(1,-1)}{2},
它们满足
[\hat{L}_n,\hat{L}_0] = n L_n+cp(n,0)=n\hat{L}_n,
[\hat{L}_{1},\hat{L}_{-1}] = 2 L_0+cp(1,-1)=2\hat{L}_0.
比较函数p(m,n)的定义可以得知, p(1,-1)与p(n,0)总是可以被设为0.
*交换子满足雅可比恒等式,即
:
所以p(n,m)=0如果n\neq -m, 即唯一的非零 central extension为p(n,-n)且|n|>=2.
*最后计算以下雅克比恒等式
:
可知p(m,n)满足以下递推公式
:
其中归一化条件为p(2,-2)=\frac{1}{2}.综上所述, Witt algebra在复数域唯一非零的central extension, 即维拉宿代数的生成元满足以下交换子
[L_m,L_n] = (m-n) L_{m+n} +c \frac{1}{12}(n+1)n(n-1)\delta_{m+n,0}.
局部保角变换
群表示论
Verma模
超对称维拉宿代数
註
參考
V.G. Kac: "Infinite dimensional Lie algebras*", Cambridge University Press
V.G. Kac / A.K. Raina : "Bombay Lectures on highest weight representations*" , World Scientific, Singapore
*Di Francesco / Mathieu / Senechal : "Conformal field theory", Springer Verlag
Wakimoto: "Infinite-dimensional Lie algebras*" （日語書《無限次元環》的譯本）, American Mathematical Society
*Ralph Blumenhagen/ Erik Plauschinn : "Introduction to conformal field theory: with applications to string theory", Springer Lecture notes in physics 779, Page 15
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