胡尔维兹定理
在代数学中，胡尔维兹定理（又名“1,2,4,8定理”）是以在1898年证明它的阿道夫·胡尔维兹命名。该定理表明：任何带有单位元的賦範可除代數同构于以下四个代数之一：R,C,H和O，分别代表实数、复数、四元数和八元数。对实賦範可除代數的分类始于弗洛比纽斯 ，发扬于胡尔维兹，由佐恩整理为一般形式。一个简短的历史摘要可见Badger。 完整的证明能在凯特和索洛多斯尼科夫或者夏皮罗处找到。一个基本的想法是，如果一个代数A是成正比于1的，那么它同…
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阿廷-韦德伯恩定理
在抽象代数学中，阿廷-韦德伯恩定理（）是半单环及半单代数的分类定理。该定理指出，任何半单的阿廷环都同构于有限个除环上的有限阶矩阵环的直积，且这些除环以及与之对应的矩阵的阶数在相差一个置换的意义下是唯一确定的。 历史 1908年，约瑟夫·韦德伯恩发表了题为《论超复数》（）的论文。该文中的定理23指出：任意一个单代数都可以表示成一个本原代数（即可除代数）和单矩阵代数的直积。利用现在的术语，该定理可以表述为：任何单代数都同构于某个除环上的有限…
韦德伯恩小定理
在数学上，韦德伯恩小定理是指：每一个有限除环都是域。换句话说，对有限环而言，整环、斜域和域三者没有区别。 阿廷-佐恩定理把这个结论推广到了交错环：每个有限交错除环都是域。 历史 约瑟夫·韦德伯恩在1905年第一次证明了这结论，并在后来继续给出了另两种证明方法。雷奥那德·尤金·迪克逊（Leonard Eugene Dickson）在韦德伯恩的第一个证明后很快给出了另一个证明，并承认了韦德伯恩的证明比他更早。然而，帕歇尔（Parshall）…
向量空间的维数定理
數學分支線性代數中，向量空間的維數定理表明，向量空間的任意一組基，都具有相同數量的元素。基的大小可能有限，也可能無窮（此時其大小為基數）。基的大小定義為向量空間的維數。 形式上，向量空間的維數定理指出： {{block indent|em=1.5|text=設為向量空間，\mathcal {B_1, B_2}為兩組基，則兩者等勢，即元素個數|\mathcal B_1| = |\mathcal B_2|。}} 由於基是線性獨立的生成集，上…
Ado定理
在抽象代數中，Ado定理指出每一個有限維的，在一個零特徵的域K上的李代數L都可被看作是一個用交換子李括號定義的關於方塊矩陣的李代數。更為準確地說，定理指出L在K上有一個在有限維向量空間V上的忠實線性表示，使得L與一個V自同态的子代數同構。 雖然對於典型群的李代數而言，這個結果並不特別，但對於一般情況這則是一個深刻的結果。在應用到一個李群G的實李代數上時，該定理並不指出G有一個忠實的線性表示（這一般是不正確的），而是指出G總是有一個線性表…
中山引理
在交換代數中，中山引理是相當有用的一個技術工具。 陳述 它的眾多等價陳述之一如下： : 引理（中山正）。設R為含單位元的交換環，I為一理想，M為有限生成R-模。若IM=M，則存在r \in R滿足r \equiv 1 \pmod I且rM = 0。 推論 : 推論一。在上述條件下，若I包含於R的Jacobson根，則必然有M=0。 : 推論二. 若N是M的子模，且存在有限生成的M的子模N'及包含於R的Jacobson根的理想I，使得M …
希尔伯特基定理
希尔伯特基定理是数学、尤其是交换代数中的定理。它声明诺特环上的多项式环也是诺特环。 定理陈述 设R为一个环，记R[X]为R上以X为变量的的多项式组成的环。大卫·希尔伯特证明了只要R不是“太大”——即R为诺特环——那么R[X]也具有相同性质。形式上， 希尔伯特基定理. 如果R是诺特环，那么R[X]也是诺特环。 推论. 如果R是诺特环，那么R[X_1,\dotsc,X_n]也是诺特环。 定理可以如下翻译成代数几何的语言：域上的每个代数集都可…
本原元定理
在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为F(\alpha)的形式，即E可以由单个元素生成。 定理 一个有限扩张E/F有本原元，即存在\alpha使得E=F(\alpha)，当且仅当E和F之间只有有限个中间域。 证明 如果F是有限域，由于E/F是有限扩张，推得E也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群，任取这个乘法群的一个生成元，E可以由这个生成元生成。所以在F是有限域的情况下，定理左右两边恒为真。 如果…