中国剩余定理
中國剩餘定理，又稱孫子定理或中國餘數定理，是数论中的一個关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。该定理在中国古代也被称为「韓信點兵」、「求一术」（宋 沈括）、「鬼谷算」（宋 周密）、「隔-{zh-cn:墻;zh-tw:牆;}-算」（宋 周密）、「剪管術」（宋 杨辉）、「秦王暗點兵」、「物不知數」等。 物不知数 一元线性同余方程组问题最早可见于中國南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孫子算經》卷下第二…
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共 49 篇文章
主理想整环
在抽象代数中，主理想整环（，简称PID）是其中所有理想都是主理想（由一个元素生成的理想）的整环。一个更广泛的概念是主理想环，它指的是其中所有理想都是主理想的非零交换环，但一些作者（如布尔巴基）把主理想整环称为主理想环。主理想整环和主理想环的区别在于主理想环可以有零因子，而主理想整环不可以。 因此，在可除性上，主理想整环性质与整数类似：每一个主理想整环的元素都有唯一的质元素分解（因此算术基本定理的类似形式成立）；每一对主理想整环的元素都有…
扎里斯基拓扑
的扎里斯基拓撲中，此多项式的圖像是閉集。]] 在代数几何和交换代数中，扎里斯基拓扑是定義在代数簇上的拓扑。其由奥斯卡·扎里斯基首先提出，及後用作給出一般交换环的素理想集的拓撲結構，稱為環的谱。 有了扎里斯基拓扑，無論一個代數簇的基域是否一個拓撲域（即一個域，其上可定義一個拓撲，使得加法和乘法都是連續函數），都可應用拓扑学的工具到代数簇的研究上。这是概形论的基本思想，有了它才允许將多個仿射簇黏合，而成一個一般的代數簇，正如流形理论中，流形…
GCD環
GCD環是一種有特殊性質的整环R，滿足其中任二個非零的元素都有最大公因數（GCD），或者等價的，都有最小公倍數（LCM）。 GCD環是將唯一分解整環推廣到非諾特環的情況，事實上，一個整環是唯一分解整環若且惟若其為滿足的GCD環。 性質 GCD環中每個不可約元素都是質元素（不過GCD環中不一定要有不可約元素，其至GCD環可能不是一個域）。GCD環是 的，且其中每一個非零的元素都是。換句話說，每個GCD環都是。 針對GCD環R中的每一對元素…
主理想環
在數學中，主理想環是使得每個理想均可由單個元素生成的環。 如果一個主理想環同時也是整環，則稱之主理想整環（常簡寫為 PID）。 例子 整數環 \Z 是主理想域，更一般地說，歐幾里德環恆為主理想環。 域上的（单变元）多項式環是主理想環。 高斯整數環 \Z[\sqrt{-1}] 是主理想環。 艾森斯坦整數環 \Z[\omega] 是主理想環，其中 ω 為任一非 1 的三次單位根。 * 環 \Z[\sqrt{5}] 非主理想環：可以證明理想 …
歐幾里得整環
在抽象代數中，歐幾里得整環（）是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。 定義 一個歐幾里得整环是一整環 D 及函數 v: D \setminus \{0\} \to \N \cup \{0\}，使之滿足下述性質： 若 a, b \in D 而 b \neq 0，則存在 q, r \in D 使得 a = bq+r，而且 r=0，或者 v(r) 。 若 a 整除 b，則 v(a) \leq v(b)。 函數 v 可設想成元…
多项式环
在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 R 上的多項式環是由係數在 R 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 R 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換 R-代數範疇中的自由對象。 定義 多項式函數與多項式 在初等數學與微積分中，多項式視同多項式函數，兩者在一般的域或環上則有區別。舉例言之，考慮有限域 \mathbb{F}_2 := \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} …
環的局部化
在抽象代數中，局部化是一種在環中形式地添加某些元素的倒數，藉以建構分式的技術；由此可透過張量積構造模的局部化。範疇的局部化過程類似，但此時加入的是態射之逆元素，以使得這些態射在局部化以後變為同構。 局部化在環論與代數幾何中佔有根本地位，範疇的局部化則引出導範疇的概念，在高等數學中有眾多應用。 幾何詮釋 「局部化」一詞源出代數幾何。設 R 是一個仿射代數簇 X 的座標環（也就是 X 上的多項式函數），則 R 對其元素 f 的局部化的意義是…
二元数
在線性代數，二元數（）是實數的延伸。二元數有一「二元數單位」ε，其平方ε2＝0（亦即ε是冪零元）。二元數的集合能在實數之上組成、符合交換律的二維環結合代數。全部二元數z都有z=a+bε的特性，其中a和b是實數。 矩陣表示法 二元數可用矩陣表示為： :\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}及a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b …
亨泽尔引理
亨泽尔引理（）是数学中模算术的一個结论。亨泽尔引理说明，如果一个模（是给定的质数）的多项式方程有一个单根，则可以通过这个根求出该方程在模的更高次方时的根。在完备交换环（包括p进数）中，亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单，亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。 定理内容 設f(x)為整係數多項式，k為不少於2的整數，p為質數。若整數r是下面同餘式的根： : f(r) \equiv…
唯一分解整環
在數學中，唯一分解整环（，縮寫：UFD）是一個整環，其中元素都可以表示成有限個不可約元素（或素元）之積，並且表示法在允許重排與相伴（associative）之下唯一，相當於滿足算術基本定理的整環。 定義 一個整環R被稱為唯一分解整环若且唯若R中的每個非零元素x皆可表示為一個可逆元素和若干個不可約元素（可以是0個）的乘積： : x = u p_1 p_2 \cdots p_n 其中u是一個可逆元素，p_1, \cdots ,p_n是不可約…
內射模
內射模（），在模論中，是具有與有理數 \mathbb{Q}（視為 \Z-模）相似性質的模。內射模是投射模的對偶概念，由Reinhold Baer於1940年引進。 定義 一個環 R 上的左模 Q 若滿足以下等價條件，則稱之為內射模： 若 Q 是另一個左 R-模 M 的子模，則存在另一個子模 R \subset M 使得 M = R \oplus Q。 若 f: X \to Y 是左 R-模的單射，g: X \to Q 為同態，則存在同態…
諾特模
諾特模是抽象代數中一類滿足升鏈條件的模，定義方式類似諾特環。 定義 以下固定一個環 A。設 M 為左 A-模，當 M 滿足下列等價條件時，稱 M 為諾特模： 所有 M 的子模都是有限生成的。 對所有由 M 的子模構成的升鏈 M_1 \subset M_2 \subset \cdots，存在 N \in \mathbb N 使得 i \geq N \Rightarrow M_i = M_{i+1}；換言之，此升鏈將會固定。 若將上述定義中…
戴德金整環
在環論中，戴德金整環是戴德金為了彌補一般數域中算術基本定理的空缺而引入的概念。在戴德金整環中，任意理想可以唯一地分解成素理想之積。 定義 戴德金整環指的是有乘法單位元素 1，並具備下述性質的交換諾特整環 A： A 不是域。 A 的非零素理想皆為極大理想。 A 整閉。 前兩條可合併為：A 之克魯爾維度等於一。另一種表述方式如下： A 對任意極大理想之局部化為離散賦值環。 A 的非零理想皆可逆。換言之：對任意理想 0 \neq I \sub…
交換代數
在抽象代數中，交換代數旨在探討交換環及其理想，以及交換環上的模。代數數論與代數幾何皆奠基於交換代數。交換環中最突出的例子包括多項式環、代數整數環與p進數環，以及它們的各種商環與局部化。 由於概形無非是交換環譜的黏合，交換代數遂成為研究概形局部性質的主要語言。 源流 此學科原稱「理想論」，始自戴德金在理想方面的工作，而其工作又建基於庫默爾與克羅內克的早期工作。此後希爾伯特引入術語「環」，以推廣先前採用的「數環」。希爾伯特以較抽象的進路取代…
諾特環
諾特環是抽象代數中一類滿足升鏈條件的環。希爾伯特首先在研究不變量理論時證明了多項式環的每個理想都是有限生成的，隨後埃米·諾特從中提煉出升鏈條件，諾特環由此命名。 定義 一個環A稱作諾特環，若且唯若對每個由A的理想構成的升鏈\mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset \ldots, \subset\mathfrak{a}_n \subset\ldots，必存在N \subset \mathb…
魏尔斯特拉斯预备定理
在数学中，魏尔斯特拉斯预备定理是用于处理一个多变量的解析函数在某个给定点 P 附近性质的一个工具。 定理内容 假设 f 是定义在一个区域 D\subset \mathbb{C}^{m} 内的全纯函数，若 f 于点 P 的某个邻域 \Omega 内不恒为零，假设在某一组基下，P 的坐标为 (p_{1},\cdots,p_{n})，那么我们有： 存在 \mathbb{C}^{m} 的这样一组基，对 p_{m} 任意邻域 B_{\delta}…
克鲁尔维数
在交換代數中，一個環的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大長度。此概念依數學家 Wolfgang Krull（1899年-1971年）命名。 定義 設交換環 R 中有 n+1 個素理想 P_0, \ldots, P_n，使得 : P_0\subsetneq P_1\subsetneq \ldots \subsetneq P_n 則稱之為長度為 n 的素理想鏈，一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的。R 的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大可能長度…
正合序列
在數學裡，尤其是在群論、環與模理論、同調代數及微分幾何等數學領域中，正合序列（或釋作正合列或恰當序列）是指一個由對象及其間的態射所組成的序列，該序列中的每一個態射的像都恰好是其下一個態射的核。正合序列可以為有限序列或無限序列。 正合序列於同調代數中居於核心地位，其中特別重要的一類是短正合序列。 定義 在群論裡，一個由群及群同態所組成的序列 :G_0\;\xrightarrow{f_1}\; G_1 \;\xrightarrow{f_2}…
環的譜
在抽象代數學，交換代數和代數幾何學中，一個交換環A的譜是指其素理想全體形成的集合，記作\mathrm{Spec}(A)。它被賦予扎里斯基拓撲和結構層，從而成爲局部賦環空間。 一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜，即稱爲仿射概形。 扎里斯基拓撲 對於交換環 A 裡的任一理想 \mathfrak{a}，置 V(\mathfrak{a}) := \{ \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A) : \mathfrak{…