譜序列
在同調代數中，譜序列是一種藉著逐步逼近以計算同調或上同調群的技術，由讓·勒雷在1946年首創。其應用見諸代數拓撲、群上同調與同倫理論。 動機 讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學，而引入層的概念，從而面臨計算層上同調的問題。為此，勒雷發明了現稱勒雷譜序列的計算方法，它聯繫了一個層的上同調群與其正像的上同調群。 人們很快就發現：勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題；更抽象地說，對合成函子取導函子也會得到譜序列，稱為格羅滕迪克譜…
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共 19 篇文章
九引理
在數學中，九引理是一個對任意阿貝爾範疇（例如阿貝爾群範疇與模範疇）均成立的抽象結果，此引理斷言：給定如下的交換圖： : 若每一直行及下兩橫列正合，則最上一個橫列也正合；類此，若每一直行及上兩橫列正合，則最下一個橫列也正合。 九引理可透過圖追蹤直接證明，或藉著對正合橫列套用蛇引理證明。 Linderholm (p.201) 曾這麼挖苦九引理： : 畫個井字，別填上圈叉，而要用彎曲的箭頭……在井字上揮舞些複雜的手勢。畫些圈，但不是在井字裡，…
正合序列
在數學裡，尤其是在群論、環與模理論、同調代數及微分幾何等數學領域中，正合序列（或釋作正合列或恰當序列）是指一個由對象及其間的態射所組成的序列，該序列中的每一個態射的像都恰好是其下一個態射的核。正合序列可以為有限序列或無限序列。 正合序列於同調代數中居於核心地位，其中特別重要的一類是短正合序列。 定義 在群論裡，一個由群及群同態所組成的序列 :G_0\;\xrightarrow{f_1}\; G_1 \;\xrightarrow{f_2}…
链复形
数学上，同调代数领域中的一个链复形(A_\bullet, d_\bullet)是一个交换群或者模的序列A0, A1, A2... 通过一系列同态dn : An→An-1相连，使得每两个连接的映射的复合为零：dn o dn+1 = 0对于所有n。它们常常写作如下形式： ::\ldots \longrightarrow A_{n+1} \begin{matrix} d_{n+1} \\ \longrightarrow \\ \, \end{…
阿貝爾範疇
在數學中，阿貝爾範疇（或稱交換範疇）是一個能對態射與對象取和，而且核與上核存在且滿足一定性質的範疇；最基本的例子是阿貝爾群構成的範疇Ab。阿貝爾範疇是同調代數的基本框架。 定義 阿貝爾範疇的公理版本繁多，在此僅取其一（見外部連結）。 一個範疇\mathcal{A}若滿足下述條件，則稱阿貝爾範疇： \mathcal{A}是加法範疇。 所有態射皆有核與上核。 所有態射皆為嚴格態射。 只滿足前兩個條件者稱作預阿貝爾範疇。 若取k為一交換環，則…
Tor函子
在交換代數中，Tor 函子是張量積的導函子。此函子起初是為了表述代數拓撲中的 Künneth 定理與普遍係數定理而定義。 定義 設 R 為環。令 R-\mathbf{Mod} 為左 R-模範疇、 \mathbf{Mod}-R 為右 R-模範疇（若 R 為交換環，則兩者等價）。固定一對象 B \in R-\mathbf{Mod}，考慮函子 : T_B(-) := - \otimes_R B 這是從 \mathbf{Mod}-R 至阿貝爾群…
正合函子
在範疇論中，正合函子（或譯作恰當函子）是保存有限極限的函子。在阿貝爾範疇中，這就相當於保存正合序列的函子。 阿貝爾範疇間的正合函子 設 \mathcal{C}, \mathcal{C}' 為阿貝爾範疇，F: \mathcal{C} \to \mathcal{C}' 為加法函子。若對每個正合序列 : \cdots \longrightarrow X_i \longrightarrow X_{i-1} \longrightarrow \cd…
五引理
在同調代數中，五引理是關於交換圖的一個重要引理。五引理可以被視為兩個相對偶的四引理之組合。此結果不只對阿貝爾範疇成立，也對群範疇成立。 陳述 在任一阿貝爾範疇（例如阿貝爾群或模的範疇）或群範疇中，考慮以下的交換圖： 五引理的敘述是：如果橫列正合，m, p 是同構，l 是滿射而 q 是單射，則 n 是同構。 兩個四引理的敘述是： (1) 考慮交換圖 若其橫行正合，m, p 是滿射而 q 是單射，則 n 是滿射。 (2) 考慮交換圖 若其橫…
Ext函子
在同調代數中，Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲，但其應用遍佈許多領域。 定義 設 \mathcal{C} 為有充足內射元的阿貝爾範疇，例如一個環 R 上的左模範疇 R-\mathbf{Mod}。固定一對象 A，定義函子 T_A(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)，此為左正合函子，故存在右導函子 R^\bullet T_A(-)，記為 \mathrm{Ext}_\mathcal…
內射分解
在同調代數中，一個阿貝爾範疇 \mathcal{A} 中的對象 A 之內射分解定義為一正合序列 : 0 \longrightarrow A \longrightarrow I^0 \longrightarrow \cdots \longrightarrow I^n \longrightarrow I^{n+1} \longrightarrow \cdots 或簡寫成 0 \rightarrow A \rightarrow I^\bull…
蛇引理
在同調代數中，蛇引理是構造長正合序列的關鍵工具，此引理在任何阿貝爾範疇中皆成立。依此構造的同態通常稱作連結同態。 敘述 考慮一阿貝爾範疇\mathcal{A}（例如阿貝爾群或模的範疇）中的交換圖： 使得每一橫列均為正合序列。此時存在一個聯繫a, b, c的核與上核的正合序列： \ker a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \…
投射分解
在同調代數中，一個阿貝爾範疇 \mathcal{A} 中的對象 A 之投射分解定義為一個正合序列 : \cdots \longrightarrow P_{n} \longrightarrow P_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow P_0 \longrightarrow A \longrightarrow 0 或簡寫成 P_\bullet \rightarrow A \rightar…
同調代數
同調代數是數學的一個分支，它研究同調與上同調技術的一般框架。 簡述 同調代數是一門相對年輕的學科，其源頭可追溯到代數拓撲（單純形同調）與抽象代數（合衝模）在十九世紀末的發展，這兩門理論各自由龐加萊與希爾伯特開創。 同調代數的發展與範疇論的出現密不可分。大致說來，同調代數是（上）同調函子及其代數結構的研究。「同調」與「上同調」是一對對偶的概念，它們滿足的範疇論性質相反（即：箭頭反向）。數學很大一部分的內在構造可藉鏈複形理解，其性質則以同調…
導出函子
在同調代數中，阿貝爾範疇間的某類函子可以「求導」，以獲得相應的導出函子。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。 動機 考慮導出函子的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列。具體言之：給定兩個阿貝爾範疇 \mathcal{A}, \mathcal{B}，及其間的加法函子 F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}。假設 F 為左正合函子，換言之，對 \mathcal{A} 中的任一短正合序列 : 0\to A …
群上同調
在同調代數中，群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。 起源 群論中的指導思想之一，是研究群 G 及其表示的關係。群 G 的表示是 G-模的特例：一個 G-模是一個阿貝爾群 M 配上 G 在 M 上的群作用 G \to \mathrm{End}(M)。等價的說法是：M 是群環 \Z[G] 上的模。通常將 G 的作用寫成乘法 m \mapsto gm。全體 G-…
伽羅瓦上同調
在數學中，伽羅瓦上同調是一套用群上同調研究伽羅瓦群的作用的技術。具體言之，假設伽羅瓦群 G = G_{L/K} 作用在一個群 A（通常是數論中出現的代數結構，如 L, L^\times, C_L 等等）上，伽羅瓦上同調研究相關的群上同調 H^i(G,A)。這些群通常具有重要的數論或算術代數幾何意義。 伽羅瓦上同調是現代代數數論的基石之一。 在代數數論中的應用 伽羅瓦上同調最早在1950年代被提出，主要與克勞德·謝瓦萊在類域論上的工作相關…
上同調維數
代數中，上同調維數是群的不變量，量度群的表示的同調複雜度。上同調維數在幾何群論、拓撲學、代數數論中有重要應用。 群的上同調維數 就如大多數的同調及上同調不變量，上同調維數涉及選取「係數環」R，最常見的特例是整數環R = Z。設G是離散群，R是非零有單位元的環，RG是其群環。群G的上同調維數小於或等於n，記為cdR(G) ≤ n，若平凡RG-模R有一個長為n的投射分解，也就是有投射RG-模P0, …, Pn，及RG-模同態dk: Pk→P…
短五引理
在同調代數中，短五引理是五引理的一個特例，它斷言：在任何阿貝爾範疇或群範疇中，若以下交換圖的橫行正合，而 g, h 皆為同構，則 f 也是同構。 此斷言是五引理的直接推論。 這個引理可以有如下詮釋：假設有態射 f: B \to B'，此態射在子對象及相應的商對象上誘導出的態射 A \to A', \; B/A \to B'/A' 皆為同構，則 f 本身也是同構。重點是必須先假設 f: B \to B' 的存在性。 参考资料
內射對象與投射對象
在同調代數中，內射對象與投射對象是內射模與投射模在阿貝爾範疇中的推廣，二者的定義相對偶。以下固定一個阿貝爾範疇 \mathcal{C} 。 若對象 P 使得函子 \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(P, -) 為正合函子，則稱 P 為投射對象。 若對象 I 使得函子 \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-, I) 為正合函子，則稱 I 為內射對象。 若對每個對象 X 都存在投射對象 P 及滿射 P \to X…