群上同調

在同調代數中，群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。

起源
群論中的指導思想之一，是研究群 G 及其表示的關係。群 G 的表示是 G-模的特例：一個 G-模是一個阿貝爾群 M 配上 G 在 M 上的群作用 G \to \mathrm{End}(M)。等價的說法是：M 是群環 \Z[G] 上的模。通常將 G 的作用寫成乘法 m \mapsto gm。全體 G-模自然地構成一個阿貝爾範疇。

對給定的 G-模 M，最重要的子群之一是其 G-不變子群

: M^{G} = \lbrace x \in M : \forall g \in G \ gx=x \rbrace.

若 N \subset M 是一個 G-子模（即：是 M 的子群，且在 G 的作用下不變），則 M/N 上賦有自然的 G-模結構，N^G \subset M^G，但是未必有 (M/N)^G = M^G/N^G。第一個群上同調群 H^1(G,N) 可以設想為兩者間差異的某種量度。一般而言，可以定義一族函子 H^n(G,-)，其間關係可以由長正合序列表示。

形式建構
以下假設 G 為有限群，全體 G-模構成阿貝爾範疇，其間的態射 \mathrm{Hom}_G(M,N) 定義為滿足 f(gx)=gf(x) 的群同態 f: M \to N。由於此範疇等價於 \Z[G]-模範疇，故有充足的內射對象。

函子 M \to M^G 是從 G-模範疇映至阿貝爾群範疇的左正合函子。定義 H^n(G,M) 為其導函子。根據導函子的一般理論，可知：

• H^0(G,M)=M^G
• 長正合序列：若 0 \to M' \to M \to M* \to 0 為 G-模的短正合序列，則導出相應的長正合序列

: \cdots \to H^{i-1}(G,M) \to H^i(G,M') \to H^i(G,M) \to H^i(G,M) \to H^{i+1}(M') \to H^{i+1}(M) \to \cdots

在上述定義中，若固定一個域 k，並以 k[G] 代替 \Z[G]，得到的上同調群依然同構。

標準分解
導出函子的定義來自內射分解，不便於具體計算。然而注意到 M^G = \mathrm{Hom}_G(\Z,M)，其中 \Z 被賦予平凡的 G 作用：gx = x，故群上同調可以用Ext函子表達為
: H^i(G,M) = \mathrm{Ext}^i(\Z,M)
另一方面，G-模範疇中也有充足的射影對象，若取一 \Z 的射影分解 0 \leftarrow \Z \leftarrow P_\bullet，則有自然的同構 \mathrm{Ext}^i(\Z,M) \simeq H^i(\mathrm{Hom}(P_\bullet,M))。最自然的分解是標準分解
: L_i := \sum_{(g_0,\ldots,g_i) \in G} \Z (g_0,\ldots,g_i)
: g(g_0, \ldots, g_i) = (gg_0, \ldots, gg_i)
: d(g_0, \ldots, g_i) = \sum_{j=0}^i (g_0, \ldots, \hat{g}_j, \ldots, g_i)

而 L_0 \to \Z 由 g_0 \mapsto 1 給出。

定義 K^i := \mathrm{Hom}_G(L_i, M)，其元素為形如 f: G^{i+1} \mapsto M 的函數，並滿足 f(gg_0, \ldots, gg_i) = gf(g_0, \ldots, g_i)，稱之為齊次上鏈。根據 G 在 L_i 上的作用，這種 f 由它在形如 (e, g_1, g_1 g_2, \ldots, g_1 \ldots, g_i) 的元素上的取值確定。藉此，可將上鏈複形 K^i 描述為

• K^i 的元素為 G^i \to M 之函數。
• (df)(g_1, \ldots, g_{i+1}) = g_1 f(g_2, \ldots, g_{i+1}) + \sum_{j=1}^i (-1)^j f(g_1, \ldots, g_j g_{j+1}, \ldots, g_{i+1}) + (-1)^{i+1} f(g_1, \ldots, g_i)

其中的元素稱為非齊次上鏈。

綜上所述，得到 H^i(K^\bullet) = H^i(G, M)。

例子
較常用的上同調是 H^1 與 H^2。從標準分解可導出以下的描述：
: H^1(G, M) = \dfrac{\{ f: G \to M | \forall g, g', \; f(gg') = gf(g') + f(g) \}}{\{f: G \to M : \exists m\, \forall g, \; f(g) = gm-m\}}
準此要領，亦有
: H^2(G,M) = \dfrac{\{ f: G^2 \to M | gf(g',g)-f(gg',g) + f(g,g'g*) - f(g,g')=0 \}}{\{ f: G^2 \to M : \exists h: G \to M, f(g,g')=gh(g')-h(gg')+h(g) \}}

群同調
上述理論有一對偶版本：對於任一 G-模 M，定義 DM 為形如 gm-m 的元素生成之子模。考慮從 G-模範疇映至阿貝爾群範疇的函子
: M \to M_G := M/DM = \Z \otimes_{\Z[G]} M

這是一個右正合函子，其導出函子稱為為群同調 H_n(G,M)。群同調可以藉Tor函子描述為
: H_i(G,M) \simeq \mathrm{Tor}^{\Z[G]}_i (\Z, M)

對於有限群，群同調與群上同調可在塔特上同調群的理論下得到一貫的描述。

非阿貝爾群上同調
將上述定義中的 G-模 M 改成一般的群 A（未必交換），並帶有 G 的作用 a \mapsto g(a)（稱之為 G-群）。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調：
: H^0(G,A) := A^G = \{a \in A | \forall g \in G, \; g(a)=a \}
: H^1(G,A) := \dfrac{\{ a_s : G \to A | \forall s,t \in G, \; a_{st} = a_s s(a_t)\}}{\{ b_s: G \to A | \exists a, b_s = a^{-1} s(a)\}}
須留意 H^0(G,A), H^1(G,A) 並不是群，而是帶有一個指定元素的集合（來自 A 的單位元素），以下所謂的正合性，都應該在此意義下理解。

若 1 \to A \to B \to C \to 1 是 G-群的短正合序列，則有長正合序列
: 1 \to A^G \to B^G \to C^G \to H^1(G,A) \to H^1(G,B) \to H^1(G,C)
若 A落在 B 的中心，此序列右端可再加一項 H^1(G,C) \to H^2(G,A)。

性質
Res 與 Cor
若 f: H \to G 為群同態，則可將任一 G-模透過 f 視為 H-模，此運算導出上同調之間的映射
: H^\bullet(G,M) \to H^\bullet(H, M)
此映射與群上同調的長正合序列相容。當 H 是 G 的子群而 f 是包含映射，導出的映射稱為限制映射，記為 Res。

由於我們假設 G 為有限群，必有 (G:H) ，此時映射
: N_{G/H}: M^H \to M^G, \quad N_{G/H}(m) := \sum_{g \in G/H} gm
導出一個上限制映射 \mathrm{Cor}: H^\bullet(H,M) \to H^\bullet(G,M)。

: 定理. \mathrm{Cor} \circ \mathrm{Res} = (G:H) \mathrm{id}

中心擴張
若 M 是平凡的 G 模（即 \forall g \in G, \; gm=m），則 H^2(G,M) 中的元素一一對應於 G 對 M 的中心擴張的等價類
: 0 \to M \to E \stackrel{p}{\to} G \to 1

中心擴張意謂：0 \to M \to E \to G \to 1 是群擴張，而且 M 落在 E 的中心內。

具體描述方法是：任取一映射 s: G \to E, p\circ s = \mathrm{id}_G。s 不一定是群同態，但存在函數 f: G^2 \to M 使得 s(g)s(g')=f(g,g')s(gg')。s 及 f 刻劃了 E 的群結構。不難驗證 f \in K^2 滿足 df=0，而 s 的選取對應於 f \mapsto f + dh, h \in K^1，所以 f \in H^2(G,A) 僅決定於唯一的一個中心擴張。反之，任一 f \in H^2(G,A) 都來自於某個中心擴張，證畢。

譜序列
若 N \subset G 是 G 的正規子群，則有下述譜序列
: H^p(G/N, H^q(N,A)) \implies H^{p+q}(G,A).\,

對於射影有限群，此式依然成立。
參考文獻
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• , Chapter II

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• , Chapitre VII

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