散在单群
散在单群（）是有限单群分类定理指定的26个特殊单群，它们都是有限单群，但不在18个无限族之中。另外，在有些数学家眼中，与李型群密切相关的Tits 群会被看做第27个散在单群。 列表 Mathieu 群 M_{11}、M_{12}、M_{22}、M_{23}、M_{24}； Janko 群 J_1、J_2 或 HJ、J_3 或 HJM、J_4； Conway 群 Co_\mathit{1}、Co_\mathit{2}、Co_\mathit…
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共 39 篇文章
有限單群分類
在数学中，有限单群分类是群论中的一大成果，表明了所有有限单群要么是循环群，要么是交错群，要么属于一个无限类，称为李型群，要么是 26 个或 27 个特别类型之一，称作散在单群。其证明涵盖共计上万页的由上百位作者撰写的数百篇期刊文章，这些文章的发表时间跨越了从 1955 年到 2004 年近半个世纪之久。 单群可以被视作所有有限群的 “基本建筑单元”，性质上近似素数之于整数的关系。Jordan–Hölder 定理是一个说明有限群本质的更精…
空間對稱群
可以只由旋轉而有12種不同的方位。上圖以循環圖來表示此12種方位，其為將正四面體旋轉180度（藍箭頭）和120度（紅箭頭）來置換正四面體的方向。此12種的旋轉可形成一正四面體的旋轉（對稱）群。]] 一個物件（如一維、二維或三維中的圖像或信號）的對稱群是指在複合函數運算下不變的所有等距同構所構成的群。其為所考慮之空間的等距同構群中的一個子群。 （若沒有另外注明，則本文只考慮在歐幾里得空間內的對稱群，但此一概念亦可以被應用在更廣義的用途上，…
蒂茨群
蒂茨群（）2F4(2)′以法国数学家雅克·蒂茨命名，是有限單群分類之中的一个特例。它是一个阶数为： : 17,971,200 = 211 · 33 · 52 · 13. 的有限单群。它是唯一一个由李型群导出，而非李型群的有限单群，有时候也被看作第27个散在单群。 发现历史 1961年，发现了李型群家族2F4(22n+1)，并且证明，如果n ≥ 1，它们就是单群。然而，其首个成员2F4(2)不是单群。雅克·蒂茨在1964年发现，2F4(2…
戴德金群
戴德金群（Dedekind group）指的是一類所有的子群都是正規子群的群，所有的交換群都是戴德金群，非交換的戴德金群又稱漢彌爾頓群（Hamiltonian group）。 階數最小的漢彌爾頓群是四元群，四元群具有八個元素，一般記做Q_8。戴德金和貝爾（Reinhold Baer）證明說所有的漢彌爾頓群H都是H = Q_8 \times B \times D的直積，其中B是二階初等阿貝爾群，而D則是周期性交換群，且D所有元素的階數皆是…
凱萊圖
的凱萊圖]] 凱萊圖（），也叫做凱萊著色圖，是將離散群的抽象結構畫出的一種圖。它的定義是凱萊定理（以阿瑟·凱萊命名）所暗含的。畫凱萊圖時，要選定群的一個生成元集合（通常有限），不同選法可能得到不同的凱萊圖。凱萊圖是與幾何群論的中心工具。 定義 假設G 是群，而S 是G的生成集。凱萊圖\Gamma=\Gamma(G,S) ，是如下構造的著色的有向圖： G 的每個元素g 對應一個頂點。換言之，圖\Gamma 的頂點集合V(\Gamma) 視…
群的生成集合
在抽象代數中，群 G 的生成集合是子集 S 使得所有 G 的所有元素都可以表達為 S 的元素和它們的逆元中的有限多個元素的乘積。 更一般的說，如果 S 是群 G 的子集，則 S 所生成的子群 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群，這意味著它是包含 S 元素的所有子群的交集；等價的說， 是 G 中所有可以用 S 的元素和它們的逆元中的有限乘積表達的元素的子群。 如果 G = ，則我們稱 S 生成 G；S 中的元素叫做生成元或群生成元。…
加法單位元
在數學裡，一個具有加法運算的集合中的加法單位元，是指不論它加上任何一個在此集合內的元素x都會等於x的元素。 基本例子 初等數學中所熟悉的加法單位元為0。 如： : 5 + 0 = 5 = 0 + 5。 在自然數\mathbb{N}和其所有的父集(整數\mathbb{Z}、有理數\mathbb{Q}、實數\mathbb{R}、複數\mathbb{C})內，其加法單位元皆為0。所以對於任何一個數n， : n + 0 = n = 0 + n。…
四元群
。每一種顏色代表連結至單位元(1)之任一元素的次方。例如，紅色的環反映了i^2=1、i^3 = -i 和 i^4 = 1，亦反映了(-i)^2 = -1、(-i)^3 = i 和 (-i)^4 = 1。]] 在群論裡，四元群 Q_8 (Quaternion Group) 是指一個階為8的非交換群，常被簡寫為 Q，且用乘法的形式表示。包含下列8個元素： :Q = \{ 1,i,j,k,-1,-i,-j,-k \} 其中，1 代表單位元素，…
拉格朗日定理 (群論)
拉格朗日定理是群論中一個重要的結果，描述了一個群和它的子群的元素個數之間的關係。這個定理對有限群的結構給出了很多線索。 定理陳述 推論 由拉格朗日定理可立即得到——有限群 G 中每個元素的階（ Order ）都會整除群 G 的階（考慮由這個元素生成的循環群）。 如果 |G| 是質數，那麽 G 同構於質數階的循環群 C_ （因為質數沒有 1 和自身以外的因數）。 費馬小定理是拉格朗日定理的一個簡單推論。 逆命題 拉格朗日定理的逆命題一般來…
群同態
。]] 在数学中，给定两个群 (G, ) 和 (H, \cdot) ，从 (G, ) 到 (H, \cdot) 的群同态(Group homomorphism)是函数 h: (G, )\to(H, \cdot) 使得对于所有 G 中的 u 和 v 下述等式成立 : h (uv) = h(u)\cdot h(v) 在这里，等号左侧的群运算 ，是 G 中的运算；而右侧的运算 \cdot 是 H 中的运算。 从这个性质，可推导出 h 将 G …
內自同構
在抽象代數的群論中，內自同構（）是群的一種自同構。群內部的元素的共軛作用可以定義一個自同構，因而得名「內」自同構。 定義 設 g 為群 G 的一個元素，則 g 對應的內自同構可以由如下的方程給出 : \iota_g : G\to G : x \mapsto gxg^{-1} 該方程是 G 的一個自同態，因為對任意 x_1, x_2 \in G ，有 : \iota_g(x_1x_2) = g^{-1}x_1x_2g = g^{-1}x_…
群表示論
在群論中，群表示論（）是一个非常重要的理論。它包含了（局部）緊緻群、李群、李代數及群概形的表示等種種分支，近來無限維表示理論也漸露頭角。表示理論在量子物理與數學的各領域中均有重要應用。 基本定義 表示理論早期是藉矩陣的語言描述的，具體定義如下： 如果任何非零方陣的集合的乘法關係和给定群的乘法關係相同，则這個矩陣集合形成群的一個表示，這套矩陣的階稱為表示的維數。 如果兩個同維表示的矩陣以同一相似變換相關聯，則稱這兩個表示是等價的。 如果任…
群同構
在抽象代數中，群同構（）是在兩個群之間的函數，它在維持群運算的方式架設了在群的元素之間的一一對應。如果兩個群之間存在一個群同構，則稱這兩個群同構。從群論的立場看，同構的群具有相同的結構和性質，因而不需要區分。 定義和符號 給定兩個群 (G, ) 和 (H, \odot) ，從 (G, ) 到 (H, \odot) 的群同構是從 G 到 H 的雙射群同態。這意味著群同構是雙射函數 f : G \rightarrow H 使得對於所有 G …
商群
在數學中，商群（）或因子群（）是通过保持群结构的等价关系来把较大群中的类似元素聚类而产生的群。例如，加法模 n 的循环群是由在整数加法群中将相差 n 倍的整数定义为一类（称为同余类）得到的一系列可作为一个整体进行二元运算的群结构。 給定一個群 G 和 G 的一個正規子群 N G 在 N 上的商群或因子群，直觀上是把正規子群 N 「萎縮」為單位元的群。商群寫為 G/N ，念作 G 模 N（「模」對應英文 mod，是 module 的簡稱）…
凱萊定理
在群論中，凱萊定理（）聲稱所有群 G 都與在 G 上的對稱群 S_G 的一個子群同構。這代表我們可以將 G 的群運算視為在 G 的元素上的群作用。該定理以英國數學家阿瑟·凱萊命名。 集合 G 的置換是任何從 G 到 G 的雙射函數。由所有置合構成集合與函數複合共同構成了一個群，稱為「 G 上的對稱群」，并記為 \text{Sym}(G)。 凱萊定理通過把任何群（包括無限群，如 (\mathbb{R}, +)）都當作某個底層集合的置換群，…
P-群
在數學中的群論中，給定一質數 p ，p-群（）是每個元素的階都是 p 的次方的一個群 G ；換言之，對每個 G 中的 g ，存在一個正整數 n 使得 g 的 p^n 次方等於單位元素， g^{(p^n)} = e 而對小於 p^n 的其他正整數 m 則有 g^m \neq e。 若 G 有限，則上述定義等價於 G 的階為 p 的次方。有限 p-群的結構已被深入研究，其中一個使用類方程的標準結論為一個非平凡有限 p-群的中心不可能為一個平…
群環
在抽象代數中，群環是從一個群 G 及交換環 R 構造出的環，通常記為 R[G] 或 RG。其定義為： : R[G] := \bigoplus_{g \in G} R e_g \qquad （換言之，這是由基底 \{ e_g : g \in G\} 張出的自由 R-模） 其上的 R-線性乘法運算由 e_g \cdot e_h = e_{gh} 給出。R[G] 對 R-模的加法與上述乘法形成一個 R-代數。乘法單位元素為 1 := e_e。…
自由群
]] 在數學中，一個群 G 被稱作自由群，如果存在 G 的子集 S 使得 G 的任何元素都能唯一地表成由 S 中元素及其逆元組成之乘積（在此不論平庸的表法，例如 st^{-1}=su^{-1}ut^{-1} 之類）；此時也稱 G 為集合 S 上的自由群，其群結構決定於集合 S，記為 F(S)，S 稱作一組基底。按照範疇論的觀點，自由群也可以抽象地理解為群範疇中的自由對象。 一個相關但略有不同的概念是自由阿貝爾群。 歷史 在1882年，W…
子群
假設 (G, ) 是一個 群（group），若 H 是 G 的一個非空子集（subset）且同時 H 與相同的二元運算 亦構成一個群，則 (H, ) 稱為 (G, ) 的一個 子群（subgroup）。參閱群論。 更精確地來說，若運算 在 H 的限制也是個在 H 上的群運算，则称 H 為 G的子群。 一個群 G 的 純子群 是指一個子群 H，其為 G的純子集（即 H ≠ G）。任一個群總會有兩個子群 當然群（為只包含單位元素的子群，{e…