群同構

在抽象代數中，群同構（）是在兩個群之間的函數，它在維持群運算的方式架設了在群的元素之間的一一對應。如果兩個群之間存在一個群同構，則稱這兩個群同構。從群論的立場看，同構的群具有相同的結構和性質，因而不需要區分。

定義和符號
給定兩個群 (G, ) 和 (H, \odot) ，從 (G, ) 到 (H, \odot) 的群同構是從 G 到 H 的雙射群同態。這意味著群同構是雙射函數 f : G \rightarrow H 使得對於所有 G 中的元素 u 和 v 有著
: f(u * v) = f(u) \odot f(v)。

如果群 (G, *) 和 (H, \odot) 之間存在一個群同構，則這兩個群同構，記作
: (G, *) \cong (H, \odot)

如果群運算沒有歧義，可以將其省略，簡寫為
: G \cong H

有時甚至簡寫為 G = H 。這種表示是否引起歧義或混淆將依賴於上下文。例如同一個群中兩個同構的子群並不一定有相同的性質。參見后面的例子。

反過來說，給定群 (G, ) 、集合 H 和雙射 f : G \rightarrow H，我們可以通過定義 f(u) \odot f(v) = f(u v) 構造一個群 (H, \odot)。

如果 H = G 并且 \odot = * 則上述的群同構作用在 G 自身，稱為 G 的自同構。

例子

• 實數集帶有加法的群 (\mathbb{R} ,+) 同構於正實數集帶有乘法的群 (\mathbb{R} ,\times):

: (\mathbb{R}, +) \cong (\mathbb{R}^+, \times)

通過同構
: f(x) = e^x \,
(參見指數函數)。

• 整數集帶有加法的群 \mathbb{Z} 是 \mathbb{R} 的子群，而因子群 \mathbb{R}/\mathbb{Z} 同構於絕對值為 1 的複數組成的乘法群 S^1:

: \mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1
同構給出為
: f(x + \mathbb{Z}) = e^{2 \pi xi}
對于所有 x \in \mathbb{R}。

• 克萊因四元群同構於 \mathbb{Z}_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 的兩個復本的直積(參見模算術)，并因此寫為 \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2。另一個符號是 Dih2，因為它是二面體群。
• 如果 (G, ) 是無限循環群，則 (G, ) 同構於整數集帶有加法的群。從代數的觀點看，這意味著所有整數的集合帶有加法運算是唯一的無限循環群。

某些群可以依賴於選擇公理證明是同構的，但在理論上不能構造出具體的同構。比如:

• 群 (\mathbb{R}, +) 同構於所有複數組成的加法群 (\mathbb{C}, +)。
• 非零複數集帶有乘法的群 (\mathbb{C}, ·) 同構於上面提及的群 S*1。

性質

• 從 (G, ) 到 (H, \odot) 的同構的核總是 {eG} 這里的 eG 是群 (G, ) 的單位元。
• 如果 (G, ) 同構於 (H,\odot)，并且如果 G 是阿貝爾群則 H* 也是。
• 如果 (G, ) 是同構於 (H, \odot) 的有限群，這里 f 是同構，則如果 a 屬于 G 并有階 n，則 f(a)* 也是。
• 如果 (G, ) 是同構於 (H, \odot) 的局部有限群，則 (H*, \odot) 也是局部有限群。
• 前面的例子展示了同構總是保持“群性質”。

推論
從定義可以得出任何同構 f : G \rightarrow H 將映射 G 的單位元到 H 的單位元，
: f(e_G) = e_H
并且映射逆元到逆元，
: f(u^{-1}) = \left[ f(u) \right]^{-1}
和更一般的，n 次冪到 n 次冪
: f(u^n)= \left[ f(u) \right]^n
對於所有 u ∈ G，并且逆映射 f^{-1} : H \rightarrow G 也是群同構。

“同構”關係滿足等價關係的所有公理。如果 f 是在兩個群 G 和 H 之間的同構，則關於 G 的只與群結構有關的所有為真的事情都可以通過 f 轉換成關於 H 的同樣為真的陳述，反之亦然。

自同構
從群 (G,*) 到自身的同構叫做這個群的自同構。就是說這是雙射 f : G \rightarrow G 使得
: f(u) f(v) = f(u v)。

自同構總是映射單位元到自身。共軛類在自同構下的像總是共軛類(同一個或另一個)。一個元素的像有同這個元素相同的階。

兩個自同構的復合也是自同構，并且群 G 的所有自同構的集合在復合運算下自身形成了一個群，即 G 的自同構群，指示為 Aut(G)。

對于所有阿貝爾群，至少有把群的元素替換為它的逆元的自同構。但是，在所有元素都等於它的逆元的群中這是一個平凡自同構，比如在克萊因四元群中。對於這種群三個非單位元素的所有置換都是自同構，所以這個自同構群同構於 S3 和 Dih3。

在對於素數 p 的 Zp 中，一個非單位元元素可以被替換為另一個，帶有在其他元素中的相應變更。這個自同構群同構於 Zp − 1。例如，對于 n = 7，Z7 的所有元素乘以 3 再模以 7，是在這個自同構群中的一個 6 階自同構，因為 36 = 1 ( modulo 7 )，而更低的冪不得出 1。因為這個自同構生成了 Z6。這里還有一個自同構有這個性質: Z7 的所有元素乘以 5 再模以 7。因此這兩個對應於 Z6 的元素 1 和 5，以這個次序或反過來。

Z6 的自同構群同構於 Z2，因為只有兩個元素 1 和 5 的每一個能生成 Z6，所以除了單位元之外我們只能互換它們。

Z2 × Z2 × Z2 = Dih2 × Z2 的自同構群有階 168，這可以如下這樣找到。所有 23 - 1 = 7 個非單位元元素扮演相同的角色，所以我們可以選擇讓誰扮演 (1,0,0) 的角色。余下的 23 - 21 = 6 中的任何一個都可以被選擇來扮演 (0,1,0) 的角色。這確定了誰對應於 (1,1,0)。對 (0,0,1) 我們可以有 23 - 22 = 4 個選擇，這就確定了余下的。因此我們有了 7 × 6 × 4 = 168 個自同構。它們對應於Fano平面的成員，它的 7 個點對應於 7 個非單位元元素。連接三個點的線對應於群運算: a, b 和 c 在一條線上意味 a+b=c, a+c=b 和 b+c=a。參見在有限域上的一般線性群。

對於阿貝爾群除了平凡的之外的所有自同構叫做外自同構。

非阿貝爾群有非平凡的內自同構群，并可能也有外自同構。

參見
*同構基本定理