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在數學中，一個群 G 被稱作自由群，如果存在 G 的子集 S 使得 G 的任何元素都能唯一地表成由 S 中元素及其逆元組成之乘積（在此不論平庸的表法，例如 st^{-1}=su^{-1}ut^{-1} 之類）；此時也稱 G 為集合 S 上的自由群，其群結構決定於集合 S，記為 F(S)，S 稱作一組基底。按照範疇論的觀點，自由群也可以抽象地理解為群範疇中的自由對象。

一個相關但略有不同的概念是自由阿貝爾群。

歷史
在1882年，Walther Dyck 在發表於 Mathematische Annalen 的論文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念，但未加以命名。「自由群」一詞由 Jakob Nielsen 於1924年引入。

例子

• 整數的加法群 (\mathbb{Z},+) 是自由群；事實上我們可取 S := \{1\}。
• 在巴拿赫-塔斯基悖論的論證中用到兩個生成元的自由群，以下將予說明。
• 在代數拓撲學中，k 個圓環的集束（即：k 個只交於一點的圓環，見右圖）的基本群是 k 個生成元的自由群。

建構方式
今將構造集合 S 上之自由群 F(S)，分解動作如下。

對任何 s \in S，引入符號 s^{-1}，稱作 s 的逆元。

考慮所有由符號 s, s^{-1} \; (s \in S) 構成的有限字串。

如果一個字串能透過將 ss^{-1} 或 s^{-1}s 替換為空字串而變為另一個字串，則稱這兩個字串等價；此關係在所有上述字串構成的集合上生成一等價關係，其商集（等價類構成的集合）記作 F(S)。

我們可以藉著對字串長度作數學歸納法，證明此等價關係相容於字串的接合，即：x \sim y, x' \sim y' \Rightarrow xx' \sim yy'。故字串接合在 F(S) 導出二元運算，並滿足交換律。

取 F(S) 及字串接合運算構成一個群，字串 s_1^{\pm 1} \cdots s_n^{\pm 1} 之逆為 s_n^{\mp 1} \cdots s_1^{\mp 1}。此即所求。

若 S 為空集，則 F(S) 為平凡群。

泛性質
上述構造 F(S) 帶有一個自然的集合映射 \phi: S \rightarrow F(S)。這對資料 (F(S), \phi) 滿足以下泛性質：

: 若 G 為群，\psi: S \rightarrow G 為集合間的映射，則存在唯一的群同態 f: F(S) \rightarrow G 使得 f \circ \phi = \psi。

事實上我們僅須，也必須設 f(s_1^{\pm 1} \cdots s_n^{\pm 1}) := \psi(s_1)^{\pm 1} \cdots \psi(p_n)^{\pm 1} ；前述構造確保此式給出一個明確定義的群同態。

任兩個滿足上述泛性質的資料 (F_1, \phi_1)、(F_2,\phi_2) 至多差一個同構，因而刻劃了自由群的群論性質。這種泛性質是泛代數中考慮的自由對象的特例，用範疇論的語言來說，函子 F(-): S \mapsto F(S) 是遺忘函子的左伴隨函子。

性質與定理

• 任何群 G 皆可表為某個自由群的同態像；在上述泛性質中取 S 為 G 的一組生成集，ψ 為包含映射即可。此時 F(S) \rightarrow G 的核 R 稱作關係，F(S),K 稱作 G 的一個展示；若 S 有限，則稱之為有限展示。一個群可以有多種展示，而且不存在判斷兩個展示給出的群是否同構的演算法。
• 如果 S 有超過一個元素，則 F(S) 非交換；事實上 F(S) 的中心只有單位元素。
• 任兩個自由群 F(S), F(T) 同構的充要條件是 S, T 基數相同，此基數稱作自由群的階。

以下是一些相關定理：

• Jakob Nielsen 與 Otto Schreirer 的定理：自由群的子群也是自由群。若 G 為 n 階，(G:H) = k，則 H 為 1-n+nk 階（在此設 n,k 有限）。
• 設 F 為超過一階的自由群；則對任意可數基數 n，F 中都存在 n 階的自由子群。

自由群雖然看似是離散的對象，卻可藉微分幾何或拓撲學工具研究，上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例（可運用同倫上纖維的構造證明）；這套技術屬於幾何群論的一支。

自由阿貝爾群
將上述泛性質中的「群」替換成「阿貝爾群」，遂得到自由阿貝爾群的泛性質。集合 S 上的自由阿貝爾群可視為自由 \mathbb{Z}-模來構造，或取作 F(S) 的「交換化」： F(S)/[F(S), F(S)]（換言之，在考慮字串時不計符號順序）。

塔斯基的問題
塔斯基在1945年左右提出下述問題：
: 兩個以上生成元的自由群是否有相同的一階理論？此理論是否可判定？

目前已有兩個團隊獨立給出肯定的答案，但雙方的證明都尚未被認可。請參見網址 [https://web.archive.org/web/20070527154242/http://www.grouptheory.org/nygtc/problems/probout.html] 的「O8」。

文獻
*
*W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).

*
J.-P. Serre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL2", 3rd edition, astérisque* 46 (1983))