自由群
]] 在數學中，一個群 G 被稱作自由群，如果存在 G 的子集 S 使得 G 的任何元素都能唯一地表成由 S 中元素及其逆元組成之乘積（在此不論平庸的表法，例如 st^{-1}=su^{-1}ut^{-1} 之類）；此時也稱 G 為集合 S 上的自由群，其群結構決定於集合 S，記為 F(S)，S 稱作一組基底。按照範疇論的觀點，自由群也可以抽象地理解為群範疇中的自由對象。 一個相關但略有不同的概念是自由阿貝爾群。 歷史 在1882年，W…
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群的展示
在數學中，展示是定義群的一種方法。通過指定生成元的集合 S 使得這個群的所有元素都可以寫為某些這種生成元的乘積，和這些生成元之間的關係的集合 R。稱 G 有展示 :\langle S \mid R\rangle。 非正式的說，G 有上述展示如果它是 S 所生成的只服從關係 R 的“最自由的群”。正式的說，群 G 被稱為有上述展示如果它同構於 S 上的自由群模以關係 R 生成的正規子群的商群。 作為一個簡單的例子，n 階循環群有展示 :\…
字 (群論)
在群論中，字是群的任何元素和它們的逆元寫成的乘積。例如，如果 x, y 和 z 是群 G 的元素，則 xy, z-1xzz 和 y-1zxx-1yz-1 都是集合 {x, y, z} 形成的字。字在自由群和展示理論中扮演重要角色，并是組合群論的中心研究對象。 定義 設 G 是群，并設 S 是 G 的子集。*S 形成的字*是如下形式的表達式 :s_1^{\epsilon_1} s_2^{\epsilon_2} \cdots s_n^{\e…