內自同構

在抽象代數的群論中，內自同構（）是群的一種自同構。群內部的元素的共軛作用可以定義一個自同構，因而得名「內」自同構。

定義
設 g 為群 G 的一個元素，則 g 對應的內自同構可以由如下的方程給出

: \iota_g : G\to G
: x \mapsto gxg^{-1}

該方程是 G 的一個自同態，因為對任意 x_1, x_2 \in G ，有

: \iota_g(x_1x_2) = g^{-1}x_1x_2g = g^{-1}x_1g g^{-1}x_2g = (g^{-1}x_1g)(g^{-1}x_2g) = \iota_g(x_1) \iota_g(x_2)

所有由 G 的元素的共軛作用給出的自同構稱為內自同構。

性質
若g在G的中心Z(G)內，則\iota_g是平凡的。因此阿貝爾群的內自同構都是平凡的。一般而言，\iota_g的不動點集，正是g的中心化子CG(g)。

內自同構\iota_g的逆元是\iota_g^{-1}=\iota_{g^{-1}}。兩個內自同構\iota_g, \iota_h的複合是\iota_g\circ \iota_h=\iota_{gh}

由群的中心的基本性質可知，若Inn(G)是循環群，則Inn(G)是平凡群。

若Inn(G)=Aut(G)且G無中心，則G稱為完備群。

若G是完滿群且Inn(G)是單群，則G稱為擬單群。

內自同構群
群 G 的內自同構組成內自同構群 \text{Inn}(G) 。內自同構群 \text{Inn}(G) 與群 G 對其中心 Z(G) 的商群 G / Z(G) 同構。

內自同構群 \text{Inn}(G) 是 G 的自同構群 \text{Out}(G) 中的正規子群，其對應商群記為 \text{Out}(G) = \text{Aut}(G) / \text{Inn}(G) ，稱為外自同構群。

上述關係可以用以下兩個短正合列表示：
:1\to \mathrm Z(G)\to G\to \mathrm{Inn}(G)\to 1
:1\to \mathrm{Inn}(G)\to \mathrm{Aut}(G)\to \mathrm{Out}(G)\to 1

正規子群
群 G 的子群 H 是 G 的正規子群若 H 在 G 的任一內自同構的作用下不變。這時 G 的內自同構限制到 H 上時是 H 的一個自同構（未必是 H 的內自同構），因而有群同態G\to\mathrm{Aut}(H)。這個群同態的核是 H 在 G 中的中心化子 C_G(H) 。

對一般的子群H，可取其在G中的正規化子NG(H)，則H是NG(H)的正規子群，故有群同態\mathrm N_G(H)\to\mathrm{Aut}(H)，其核是CG(H)。因此NG(H)/CG(H)可以嵌入到Aut(H)內，即
:\mathrm N_G(H)/\mathrm C_G(H)\to \mathrm{Aut}(H)
是單射。

參考

• (chapter 7).