整数模n乘法群
在同余理论中，模 n 的互质同余类组成一个乘法群，称为整数模 n 乘法群，也称为模 n 既约剩余类。在环理论中，一个抽象代数的分支，也称这个群为整数模 n 的环的单位群（单位是指乘法可逆元）。 这个群是数论的基石，在密码学、整数分解和 質數測試}-均有运用。例如，关于这个群的阶（即群的“大小”），我们可以确定如果 n 是质数当且仅当阶数为 n-1。 群公理 容易验证模 n 互质同余类在乘法运算下满足阿贝尔群的公理。 :互质同余类的乘法是…
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共 27 篇文章
散在单群
散在单群（）是有限单群分类定理指定的26个特殊单群，它们都是有限单群，但不在18个无限族之中。另外，在有些数学家眼中，与李型群密切相关的Tits 群会被看做第27个散在单群。 列表 Mathieu 群 M_{11}、M_{12}、M_{22}、M_{23}、M_{24}； Janko 群 J_1、J_2 或 HJ、J_3 或 HJM、J_4； Conway 群 Co_\mathit{1}、Co_\mathit{2}、Co_\mathit…
纖維流形
, 在纖維形和標準索引以紅色表示. 212、213對映對給予同樣的纖維形符號。 子群索引 1,2,4,8,16 從頂部到底部被劃分為/4群及四次索引（以藍色表示）。]] 在數學中，纖維流形（），又稱為纖維形，是一種基底空間為軌形的，在2001年時由約翰·何頓·康威、奧拉夫·德爾加多·弗里德里希（Olaf Delgado Friedrichs）與 丹尼爾·H·赫森（Daniel H. Huson）等人提出，介紹了一個三維纖維流形的符號系統…
有限單群分類
在数学中，有限单群分类是群论中的一大成果，表明了所有有限单群要么是循环群，要么是交错群，要么属于一个无限类，称为李型群，要么是 26 个或 27 个特别类型之一，称作散在单群。其证明涵盖共计上万页的由上百位作者撰写的数百篇期刊文章，这些文章的发表时间跨越了从 1955 年到 2004 年近半个世纪之久。 单群可以被视作所有有限群的 “基本建筑单元”，性质上近似素数之于整数的关系。Jordan–Hölder 定理是一个说明有限群本质的更精…
蒂茨群
蒂茨群（）2F4(2)′以法国数学家雅克·蒂茨命名，是有限單群分類之中的一个特例。它是一个阶数为： : 17,971,200 = 211 · 33 · 52 · 13. 的有限单群。它是唯一一个由李型群导出，而非李型群的有限单群，有时候也被看作第27个散在单群。 发现历史 1961年，发现了李型群家族2F4(22n+1)，并且证明，如果n ≥ 1，它们就是单群。然而，其首个成员2F4(2)不是单群。雅克·蒂茨在1964年发现，2F4(2…
凱萊表
凱萊表（），以19世紀英國數學家阿瑟·凱萊命名，通過在正方形表格中排列一個群的所有元素的所有可能乘積來描述有限群的結構，這讓人想起了加法或乘法表。群的很多性質，比如是否為阿貝爾群，哪個元素是哪個元素的逆元，和群的中心的大小和內容，都可以通過檢查它的凱萊表來輕易得出。 凱萊表的一個簡單例子是群 {1, -1} 在普通的乘法下的表格: 歷史 凱萊表是在凱萊 1854 年的論文《On The Theory of Groups, as depe…
四元群
。每一種顏色代表連結至單位元(1)之任一元素的次方。例如，紅色的環反映了i^2=1、i^3 = -i 和 i^4 = 1，亦反映了(-i)^2 = -1、(-i)^3 = i 和 (-i)^4 = 1。]] 在群論裡，四元群 Q_8 (Quaternion Group) 是指一個階為8的非交換群，常被簡寫為 Q，且用乘法的形式表示。包含下列8個元素： :Q = \{ 1,i,j,k,-1,-i,-j,-k \} 其中，1 代表單位元素，…
循環群
在群論中，循環群（英文：cyclic group），是指能由單個元素所生成的群。有限循环群同构于整数同余加法群 \mathbb{Z} \big/ n\mathbb{Z}，无限循环群则同构于整数加法群。每個循環群都是阿贝尔群，亦即其運算是可交換的。在群论中，循环群的性质已经被研究的较为透彻，是更为复杂的代数研究中常用到的基础工具。 定義 在乘法下形成循環群。是本原元而 2 不是，因為的奇數次冪不是2的冪。]] 设 (G, \cdot ) …
置换群
数学中，對一個给定的集合M，所有由M到自身的可逆映射构成的集合关于映射的合成构成一个群，称为M的对称群，记为S_M。S_M的任一子群称为M上的置换群（）。 如果M是包含n个元素的有限集，称其到自身的可逆映射为n阶置换，其对称群S_M称为n阶对称群，记为S_n。S_n的任一子群亦为置换群。 置换群到被置换的元素的应用称为群作用；它在对称性和组合论以及数学的其他很多分支中有应用，也是研究晶体结构等所不可或缺的工具。 定義及基本性質 置換群皆…
拉格朗日定理 (群論)
拉格朗日定理是群論中一個重要的結果，描述了一個群和它的子群的元素個數之間的關係。這個定理對有限群的結構給出了很多線索。 定理陳述 推論 由拉格朗日定理可立即得到——有限群 G 中每個元素的階（ Order ）都會整除群 G 的階（考慮由這個元素生成的循環群）。 如果 |G| 是質數，那麽 G 同構於質數階的循環群 C_ （因為質數沒有 1 和自身以外的因數）。 費馬小定理是拉格朗日定理的一個簡單推論。 逆命題 拉格朗日定理的逆命題一般來…
西羅定理
在數學的群論中，西羅定理（）是一系列關於有限群的定理，由挪威數學家彼得·盧德維格·梅德爾·西羅在1872年證明。這些定理使得代數學家對有限群的結構有了更深入的瞭解，並對有限群的研究以及百年後的有限單群分類工作给出了不少贡献。 西羅定理處理了拉格朗日定理的部份反例。拉格朗日定理表明，如果 H 是 G 的子群，那麼子群H的階 |H| 是 |G| 的因數；但逆命题未必成立， |G| 的因數未必等於某個子群的階。西羅定理表明，|G| 的形如 p…
法伊特-湯普森定理
在數學裡，法伊特-湯普森定理（），亦稱奇階定理（），說明每一個奇階的有限群都是可解的。該定理由瓦爾特·法伊特和約翰·格里格斯·湯普森證明。 歷史 威廉·伯恩賽德推測每個非阿貝爾有限單群都會有偶數的階。理查·布勞爾假定此為真來做為有限單群分類的一個基礎，並證明出若一個對合的中心化子為已知的話，則一個有限簡單群通常可以被確定。一個奇階的群沒有對合，所以要實行布勞爾的計畫，首先必須要證明出非循環有限簡單群絕對不會是奇階的。這和證明出奇階的群都…
交错群
数学中，交错群（）是一个有限集合偶置换之群。集合 \{1, \cdots, n\}上的交错群称为 n阶交错群，或 n 个字母上的交错群，记做 A_n或 \mathrm{Alt}(n)。 例如，4 阶交错群是 A_4 = \{e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)\} （参见轮换记法）。 基本性质 对 n…
典型群
在數學中，典型群（）指與歐幾里得空間的對稱性密切相關的四類李群。所謂「古典」的使用取決於當下語境，有一定的靈活性。這個用法可能源於赫爾曼·外爾在1939年發表的專著《古典群：它們的不變量和表式》。在菲利克斯·克萊因的愛爾蘭根綱領觀點下，也許反映了它們和“-{zh-hans:經典;zh-hant:古典;}-”幾何（）的關系。 古典群是最被深入研究的線性李群，多數的古典群在古典物理與近代物理皆有應用。例如， \operatorname{SO…
对称群 (n次对称群)
]] 数学上，集合X上的对称群记作SX或Sym(X)。它的元素是所有X到X自身的双射。由于恒等函数是双射，双射的反函数也是双射，并且两个双射的复合仍是双射，这个集合关于函数的复合成为群，即是置换群Sym(X)。两个函数的复合一般记作f o g，在置换群的表示里简记作fg。 对称群在很多不同的数学领域中，都扮演了重要角色。包括：伽罗华理论、不变量理论、李群的表示理论和组合学等等。 有限置换群 各种置换群中，有限集合上的置换群有着特殊的重要…
布勞爾-鈴木定理
布勞爾─鈴木定理(Brauer–Suzuki theorem)是抽象代數上的一個定理。 此定理指出，若一個有限群包含了廣義四元群的西羅2-子群，且不包含任意奇數階的非顯然正規子群，則該群有一階為2的中心，特別地，其必非單群。 布勞爾─鈴木定理的一個推廣為喬治‧格勞布曼(George Glauberman)的Z定理(Z theorem) 參照 gives a detailed proof of the Brauer–Suzuki theo…
柯西定理 (群論)
柯西定理是一個在群論裡的定理，以奧古斯丁·路易·柯西的名字來命名。其敘述著若G是一個有限群且p是一個可整除G之階（G的元素數目）的質數，則G會有一個p階的元素。亦即，存在一個於G內的x，使得p為讓xp=e的最小非零整數，其中e為單位元素。 此一定理為拉格朗日定理的部份相反，其敘述著有限群G的每一個子群之階都會整除G的階。柯西定理表示對於每一個G之階的質因數p，總存在一個G內p階之子群－由柯西定理內之元素產生的循環群。 证明 我们对n =…
局部分析
在數學裡，局部分析至少有兩種意思，這兩種意思都導源於先看和每一個質數p有關部份的問題，再試著將由每個質數所得到的資料整合成一「整體」圖像的概念。 群論 在群論裡，局部分析開始於西洛定理，它包含了有限群G有關每一個可整除G的目的質數p之結構。此領域之研究在有限簡單群分類的探索中有著大量的進展，其開始於敘述奇數目的群都是可解的范特-湯普遜定理。 數論 在數論裡，局部分析出現於丟番圖方程中，如以所有的質數p為模，尋找其解答的限制。下一步為以質…
環圖
在抽象代數子領域群論中，群的環圖展示了一個群的各種循環，并在小有限群的可視化中特別有用。對少於 16 個元素的群，環圖確定了群（在同構的意義下）。 環是給定群元素 a 的冪的集合；這里的 an 是元素 a 的 n 次冪，被定義為 a 乘以自身 n 次的乘積。稱元素 a 生成了這個環。在有限群中，某個 a 的冪必定是單位元 e；最小的這種冪是環的階，即其中的不同元素的數目。在環圖中，環被表示為一系列的多邊形，頂點表示群元素，而連線指示在這…
有限群
在數學裡，有限群是有著有限多個元素的群。有限群理論中的某些部份在20世紀有著很深的研究，尤其是在局部分析和可解群與冪零群的理論中。期望有個完整的理論是太過火了：其複雜性會隨著群變得越大時而變得壓倒性地巨大。 較少壓倒性地，但仍然很有趣的是在有限域上的一些較小一般線性群。群論學家[http://www.math.uchicago.edu/~alperin/ J. L. Alperin] 曾寫過：「有限群的典型例子為GL(n,q)－在q個元…