絕妙定理
上展示時不可能無扭曲。這幅地圖用的麥卡托投影法，保持角度但不能保持面積。]] 絕妙定理（）是微分幾何中關於曲面的曲率的重要定理，由高斯發現。這定理說曲面的高斯曲率可以從曲面上的長度和角度的測量完全決定，無需理會曲面如何嵌入三維空間內。換言之，高斯曲率是曲面的內蘊不變量。用現代術語可表述為： : 高斯曲率在局部等距變換下不變。 用现代几何语言来说：高斯曲率是规范不变量。 定理敍述 考慮在歐氏空間\mathbb R^3中的曲面。兩點間的內蘊…
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共 12 篇文章
拉格朗日定理 (群論)
拉格朗日定理是群論中一個重要的結果，描述了一個群和它的子群的元素個數之間的關係。這個定理對有限群的結構給出了很多線索。 定理陳述 推論 由拉格朗日定理可立即得到——有限群 G 中每個元素的階（ Order ）都會整除群 G 的階（考慮由這個元素生成的循環群）。 如果 |G| 是質數，那麽 G 同構於質數階的循環群 C_ （因為質數沒有 1 和自身以外的因數）。 費馬小定理是拉格朗日定理的一個簡單推論。 逆命題 拉格朗日定理的逆命題一般來…
法伊特-湯普森定理
在數學裡，法伊特-湯普森定理（），亦稱奇階定理（），說明每一個奇階的有限群都是可解的。該定理由瓦爾特·法伊特和約翰·格里格斯·湯普森證明。 歷史 威廉·伯恩賽德推測每個非阿貝爾有限單群都會有偶數的階。理查·布勞爾假定此為真來做為有限單群分類的一個基礎，並證明出若一個對合的中心化子為已知的話，則一個有限簡單群通常可以被確定。一個奇階的群沒有對合，所以要實行布勞爾的計畫，首先必須要證明出非循環有限簡單群絕對不會是奇階的。這和證明出奇階的群都…
射影定理
射影定理（台灣稱「母子相似定理」)（），又稱歐幾里得定理（），是平面幾何中的一個定理。這個定理指出，在一個直角三角形中，一條直角邊的平方，相等於三角形的斜邊乘以該直角邊在斜邊上的正投影。這個定理出現在歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中，是第 47 個命題畢氏定理證明過程的一部分。 定理內容 在 中，。設 在 的上的高，則有： :{AC}^2=AD \cdot AB :{BC}^2=BD \cdot AB :{CD}^2=AD \cdot…
阿蒂亞-辛格指標定理
在數學中，阿蒂亞-辛格指標定理斷言：對於緊流形上的橢圓偏微分算子，其解析指標（與解空間的維度相關）等於拓撲指標（決定於流形的拓撲性狀）。它涵攝了微分幾何中許多大定理，例如陳-高斯-博内定理和黎曼－罗赫定理，在理論物理學中亦有應用。 此定理由邁克爾·阿蒂亞與艾沙道尔·辛格於1963年證出。 符號簡述 X 是緊微分流形。 E 與 F 是 X 上的向量叢。 D: E \to F'是向量叢之間的橢圓偏微分算子。 微分算子的符號 設 D 是帶 k…
黑林格-特普利茨定理
黑林格-特普利茨定理是數學泛函分析的定理，以德國數學家恩斯特·黑林格和奧托·特普利茨命名。 敘述 設\mathcal H為希爾伯特空間，T : \mathcal H \rightarrow \mathcal H是處處定義的對稱線性算子，即對任意x,\,y \in \mathcal H都有等式 :\langle Tx,y \rangle = \langle x,Ty \rangle。 那麼，T有界（因此也是連續）。 證明 從閉圖像定理可知…
布勞爾-鈴木定理
布勞爾─鈴木定理(Brauer–Suzuki theorem)是抽象代數上的一個定理。 此定理指出，若一個有限群包含了廣義四元群的西羅2-子群，且不包含任意奇數階的非顯然正規子群，則該群有一階為2的中心，特別地，其必非單群。 布勞爾─鈴木定理的一個推廣為喬治‧格勞布曼(George Glauberman)的Z定理(Z theorem) 參照 gives a detailed proof of the Brauer–Suzuki theo…
拉克斯-米爾格拉姆定理
拉克斯－米爾格拉姆定理是數學泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和阿瑟·米爾格拉姆命名。这定理可用來藉弱形式求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理論基礎。 敘述 設 \mathcal{H}是實希爾伯特空間，其內積記作\langle\cdot,\cdot\rangle，導出範數\|\cdot\|， a(\cdot,\cdot)是雙線性型，使得 : 在\mathcal{H}\times\mathcal{H}上連續： ::\exists\,c>0…
柯西定理 (群論)
柯西定理是一個在群論裡的定理，以奧古斯丁·路易·柯西的名字來命名。其敘述著若G是一個有限群且p是一個可整除G之階（G的元素數目）的質數，則G會有一個p階的元素。亦即，存在一個於G內的x，使得p為讓xp=e的最小非零整數，其中e為單位元素。 此一定理為拉格朗日定理的部份相反，其敘述著有限群G的每一個子群之階都會整除G的階。柯西定理表示對於每一個G之階的質因數p，總存在一個G內p階之子群－由柯西定理內之元素產生的循環群。 证明 我们对n =…
交叉數不等式
交叉數不等式是數學的圖論分支中的一条不等式，給出了一幅图画在平面上时交叉數的下界；这一结论又名交叉数引理。給定一幅圖，該下界可由其邊數和頂點數計算出。不等式斷言，若邊數e与頂點數n的比值大于某个常数，則交叉數不小于e^3/n^2乘以另一个固定的常数。 交叉數不等式在超大规模集成电路設計與組合幾何方面有應用。其由、、、塞邁雷迪·安德烈四人以及分別獨立發現。 敍述及歷史 交叉數不等式說明，若無向簡單圖G恰有n個頂點和e條邊，且e>7n，則交…
比例論
在數學中，一個等比關係（proportion）或比例式，指的是兩個比例（proportionality 或 ratio）的相等關係，記為 a:b=c:d ；亦即，\frac{a}{b}=\frac{c}{d}。比例論（theory of proportion）是研究比例與等比關係的理論。 歷史 畢達哥拉斯學派的比例論 畢達哥拉斯學派發現了不可通約數（無理數）\sqrt[]{2}，這破壞了他們的比例論： :如果兩個物體的比例是相同的，以數…
邁爾斯定理
邁爾斯定理，或稱博內-邁爾斯定理，是黎曼幾何的經典結果。這定理說如完備黎曼流形M的里奇曲率有下界(n-1)k>0，那麼其直徑不超過\frac \pi {\sqrt k}。 而且，如直徑等於\frac \pi {\sqrt k}，則流形和有常截面曲率k的球面等距。 這結果對流形的萬有覆叠同樣成立，特別地，M和其覆蓋都緊緻，所以覆叠是有限葉的，M 有有限基本群。 參考 S. B. Myers, Riemannian manifolds wi…