射影定理

射影定理（台灣稱「母子相似定理」)（），又稱歐幾里得定理（），是平面幾何中的一個定理。這個定理指出，在一個直角三角形中，一條直角邊的平方，相等於三角形的斜邊乘以該直角邊在斜邊上的正投影。這個定理出現在歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中，是第 47 個命題畢氏定理證明過程的一部分。

定理內容
在 中，。設 在 的上的高，則有：
:{AC}^2=AD \cdot AB
:{BC}^2=BD \cdot AB
:{CD}^2=AD \cdot BD

在這裡， 及 分別是 及 在底邊 的正投影，故定理以此為名。

證明
注意到 與 是相似三角形。因此可得
:\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}

整理可得
:{AC}^2=AD \cdot AB

同理，考慮相似三角形 與 ，可得
:\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD}

整理可得
:{BC}^2=BD \cdot AB

證明完畢。

相關定理
直角三角形面積
在上面的 中，我們有：
:AB \cdot CD = AC \cdot BC

考慮三角形的面積，即可容易地證明。

勾股定理
勾股定理，是歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中的第 47 個命題。這個定理指出：

:{AB}^2 = {AC}^2+{BC}^2

勾股定理與射影定理有密切關係。事實上，在《幾何原本》中，射影定理正是該證明過程的一部分。從射影定理可知：
:{AC}^2=AD \cdot AB
:{BC}^2=BD \cdot AB

將兩條等式相加，則可得：
:{AC}^2+{BC}^2=AD \cdot AB + BD \cdot AB

由於 ，因此可得：
:{AB}^2 = {AC}^2+{BC}^2

證明完畢。

幾何平均定理
，是在《幾何原本》第六卷中的第 8 個命題。這個定理指出：

:{CD}^2=AD \cdot BD

也就是說， 是 和 的幾何平均。

與射影定理一樣，幾何平均定理可從相似三角形得證。

一般三角形的情況
對於 的情況，三角形邊長的正投影可用餘弦求得：

:AD=AC \cos \angle A
:BD=BC \cos \angle B

以上結果從餘弦的定義直接可得。

把上面兩式相加，即可得：

:AB=AC \cos \angle A + BC \cos \angle B

以上公式，又被稱為「第一餘弦定理」。然而，一般「餘弦定理」所指的，是另一條定理（「第二餘弦定理」），詳見餘弦定理。

三維空間上的推廣
三直角四面體
射影定理在三維空間上，也有相應的推廣。設 中，。又設 在斜面 的正投影為 。我們則有：

:[\triangle ADB]^2= [ \triangle AEB] \cdot [ \triangle ABC]
:[\triangle ADC]^2= [ \triangle AEC] \cdot [ \triangle ABC]
:[\triangle BDC]^2= [ \triangle BEC] \cdot [ \triangle ABC]

其中 表示 的面積。

把以上三條等式相加，則可得德古阿定理：

:[ \triangle ABC]^2 = [\triangle ADB]^2 + [\triangle ADC]^2 + [\triangle BDC]^2

德古阿定理可以視為畢氏定理在三維空間上的其中一種推廣。

一般四面體
在四面體 中，設 為底面。又設 在 的正投影為 。我們則有：

:AE=AD \cos \alpha
:BE=BD \cos \beta
:CE=CD \cos \gamma

其中 、 及 分別是 、 及 與底面 的夾角。

另外亦有：

:[\triangle ABE]=[\triangle ABD] \cos \theta
:[\triangle ACE]=[\triangle ACD] \cos \phi
:[\triangle BCE]=[\triangle BCD] \cos \psi

其中 、 及 分別是 、 及 與底面 的夾角。

將上面三條等式相加，可得：

:[\triangle ABC]=[\triangle ABD] \cos \theta + [\triangle ACD] \cos \phi + [\triangle BCD] \cos \psi

是上面提到「第一餘弦定理」的三維推廣。

任意圖形的投影
更進一步地說，面積為 的任意平面圖形，在底面的正投影的面積 ，都可用餘弦求得：

:S_\mathrm{proj} = S \cos \theta

其中 是該平面圖形與底面的夾角。

參考資料
參見
*正投影
*直角三角形
*
*畢氏定理
*
*德古阿定理