椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程（）是一类二阶線性偏微分方程，形式为： : Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + Fu +G= 0\, 并满足 :B^2 - AC 其中, , , , , , and 是和的函數，u_x=\frac{\partial u}{\partial x}, u_{xy}=\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}， u_{xx},u_y…
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共 7 篇文章
雙調和方程式
在數學中，雙調和方程是一個四階偏微分方程式，出現在連體力學，包括線性彈性理論和史托克流的解。寫成 :\nabla^4\varphi=0 或 :\nabla^2\nabla^2\varphi=0 或 :\Delta^2\varphi=0 \nabla^4 為四階的 Nabla算子，或是拉普拉斯算子的平方，稱為雙調和算子。 在 n 維座標下，以爱因斯坦求和约定可寫成 : \nabla^4\varphi=\sum_{i=1}^n\sum_{j…
泊松方程
泊松方程（）是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程式，因法國數學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。 方程的叙述 泊松方程式為 :\Delta\varphi=f 在這裡\Delta代表的是拉普拉斯算子，而f和\varphi可以是在流形上的實數或複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯算子通常表示為{\nabla}^2，因此泊松方程通常寫成 :{\nabla}^2 \varphi = f 在三維直角坐標系，可以…
阿蒂亞-辛格指標定理
在數學中，阿蒂亞-辛格指標定理斷言：對於緊流形上的橢圓偏微分算子，其解析指標（與解空間的維度相關）等於拓撲指標（決定於流形的拓撲性狀）。它涵攝了微分幾何中許多大定理，例如陳-高斯-博内定理和黎曼－罗赫定理，在理論物理學中亦有應用。 此定理由邁克爾·阿蒂亞與艾沙道尔·辛格於1963年證出。 符號簡述 X 是緊微分流形。 E 與 F 是 X 上的向量叢。 D: E \to F'是向量叢之間的橢圓偏微分算子。 微分算子的符號 設 D 是帶 k…
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学、熱力學和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写电場、引力場和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。 定義 三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ： 使用笛卡尔坐标， : \Delta…
双曲型偏微分方程
双曲型偏微分方程在物理中常常指一类二阶偏微分方程，但其在数学上有更广义的定义。另外，与双曲型偏微分方程一起被提起的常有椭圆型偏微分方程和抛物型偏微分方程。 一个比较普适的双曲型偏微分方程形式是： : Au_{xx} + Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + Fu + G = 0\, 并满足 :B^2 - 4AC > 0.\ 这里暗含了假设: u_{xy} = u_{yx} 。 （详见参考文献） 或 : Au…
椭圆算子
上的拉普拉斯方程上的一个解。拉普拉斯算子是椭圆算子的最有名的一个例子。]] 椭圆算子是数学偏微分方程理论中的一类微分算子，它是拉普拉斯算子的泛化。椭圆算子定义为所有最高阶导数的系数为正的微分算子，这意味着算子没有实的特征方向。 椭圆算子是典型的位势论，并且它们频繁地出现在静电学和连续介质力学中。椭圆算子的正则性意味着它的解通常是光滑函数（如果算子的系数是光滑的）。方程和抛物方程的稳定解通常要求解椭圆方程。 定义 \mathbb{R}^n…