泊松方程（）是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程式，因法國數學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。
方程的叙述
泊松方程式為
:\Delta\varphi=f
在這裡\Delta代表的是拉普拉斯算子，而f和\varphi可以是在流形上的實數或複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯算子通常表示為{\nabla}^2，因此泊松方程通常寫成
:{\nabla}^2 \varphi = f
在三維直角坐標系，可以寫成
:
\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).
如果有f(x,y,z)恒等于0，這個方程式就會變成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。
:\Delta \varphi = 0. \!
泊松方程可以用格林函數來求解；如何利用格林函數來解泊松方程可以參考。現在也发展出很多種數值解，如（一种迭代法）。
数学表达
通常泊松方程式表示为
:-\Delta\varphi=f
这里\Delta代表拉普拉斯算子，f为已知函数，而\varphi为未知函数。当f=0 时，这个方程被称为拉普拉斯方程。
为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:
:
\begin{cases}
-\Delta \varphi = f & \text{in} \ \Omega \\
\varphi = g & \text{auf} \ \partial\Omega
\end{cases}
其中 \Omega \subset \R^n 为有界开集。
这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:
:\Phi(x) = \begin{cases}
-\dfrac{1}{2\pi}\ln |x| & n=2 \\
\dfrac{1}{n(n-2)\omega_n} \dfrac{1}{|x|^{n-2}} & n \ge 3
\end{cases}
其中\omega_n为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积(\Phi * f)得到 -\Delta\varphi= f的解。
为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数
:G(x,y) = \Phi(y-x) - \phi^x(y)
\phi^x 为一个校正函数，它满足
:
\begin{cases}
\Delta \phi^x = 0 &\text{in} \ \Omega \\
\phi^x = \Phi(y-x) &\text{auf} \ \partial\Omega
\end{cases}
通常情况下\phi^x是依赖于\Omega。
通过 G(x,y)可以给出上述边界条件的解
:u(x) = -\int_{\partial\Omega}g(y)\frac{\partial G}{\partial \nu}(x,y)\mathrm{d}\sigma(y) + \int_\Omega f(y) G(x,y) \mathrm{d}y
其中\sigma 表示\partial\Omega上的曲面测度。
此方程的解也可通过变分法得到。
靜電學
在靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題，因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電位的問題。在國際單位制（SI）中：
:{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}
此 \Phi \! 代表電勢（單位為伏特）， \rho \!是體電荷密度（單位為庫侖/立方公尺），而 \epsilon_0 \!是真空電容率（單位為法拉/公尺）。
如果空間中有某區域沒有帶電粒子，則
:\rho = 0, \,
此方程式就變成拉普拉斯方程：
:{\nabla}^2 \Phi = 0.
高斯電荷分佈的電場
如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度
\rho(r)：
:\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},
此處，Q代表總電荷
此泊松方程式：{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}
的解Φ(r)則為
:\Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)
erf(x)代表的是误差函数.
注意：如果r遠大於σ，erf(x)趨近於1，而電場Φ(r)趨近點電荷電場
{1 \over 4 \pi \epsilon_0 } {Q \over r}；正如我們所預期的。
參閱
*
- 泊松-玻尔兹曼方程
*
参考文献
引用
来源
- [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde302.pdf Poisson Equation] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.
外部链接
*
*[http://planetmath.org/encyclopedia/PoissonsEquation.html Poisson's equation] on PlanetMath.
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