拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学、熱力學和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写电場、引力場和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。
定義
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：
使用笛卡尔坐标，
: \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2 } = 0。
使用柱坐标，
:\Delta f=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} =0
使用球面坐标，
: \Delta f = \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho^2 \frac{\partial f}{\partial \rho}\right) + \frac{1}{\rho^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\rho^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} =0。
使用曲线坐标，
: \Delta f =\frac{\partial}{\partial \xi^j}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi^k}g^{ki}\right) + \frac{\partial f}{\partial \xi^j} g^{jm}\Gamma^n_{mn} =0,
或
: \Delta f = \frac{1}{\sqrt} \frac{\partial}{\partial \xi^i}\!\left(\sqrtg^{ij} \frac{\partial f}{\partial \xi^j}\right) =0, \qquad (g=\mathrm{det}\{g_{ij}\})。
這組方程又经常写為
: \nabla^2 \varphi = 0
或者
: \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi = 0 ；
其中，div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场）。
這方程又可写為
:\Delta \varphi = 0；
其中，Δ称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
:u_x + v_y=0，
无旋条件为：
:v_x - u_y =0。
若定义一个标量函数 \psi，使其微分满足：
:d \psi = -v\, dx + u\, dy，
那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数 \psi 称为流函数，因为它在同一条流线上各点的值是相同的。\psi 的一阶偏导为：
:\psi_x = -v, \quad \psi_y=u，
无旋条件即令 \psi 满足拉普拉斯方程。\psi 的共轭调和函数 \varphi 称为速度势。柯西-黎曼方程要求
:\varphi_x=u, \quad \varphi_y=v。
所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数，虚部为流函数。
靜電學
根据麦克斯韦方程组，二维空间中不随时间变化的电场 (u,v) 满足：
:\nabla \times (u,v) = v_x -u_y =0，
和
:\nabla \cdot (u,v) = \rho，
其中 ρ 为电荷密度。第一个麦克斯韦方程便是下列微分式的可积条件：
:d \varphi = -u\, dx -v\, dy，
所以可以构造电势函数 φ 使其满足
:\varphi_x = -u, \quad \varphi_y = -v。
第二个麦克斯韦方程即：
:\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = -\rho，
这是一个泊松方程，当空间不包含自由电荷时，方程等号右边变为0，方程变为拉普拉斯方程。
三维拉普拉斯方程
基本解
拉普拉斯方程的基本解满足
: \nabla \cdot \nabla u = u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = -\delta(x-x',y-y',z-z')，
其中的三维δ函数代表位于 (x',\, y', \, z')的一个点源。
由基本解的定义，若对u作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么
: \iiint_V \nabla \cdot \nabla u dV =-1。
由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r相关的解中。如果我们选取包含点源、半径为a的球形域作为积分域，那么根据高斯散度定理
: -1= \iiint_V \nabla \cdot \nabla u \, dV = \iint_S u_r dS = 4\pi a^2 u_r(a)。
求得在以点源为中心，半径为r的球面上有
: u_r(r) = -\frac{1}{4\pi r^2}，
所以
: u = \frac{1}{4\pi r}。
经过类似的推导同样可求得二维形式的解
: u = \frac{-\ln r}{2\pi}。
格林函数
格林函数是一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域V的边界S上还满足一定的边界条件的基本解。譬如， G(x,y,z;x',y',z')\,可以满足
: \nabla \cdot \nabla G = -\delta(x-x',y-y',z-z') \quad \hbox{in} \quad V，
: G = 0 \quad \hbox{if} \quad (x,y,z) \quad \hbox{on} \quad S。
现设u为在V内满足泊松方程的任意解：
: \nabla \cdot \nabla u = -f，
且u在边界S上取值为g，那么我们可以应用格林定理（是高斯散度定理的一个推论），得到
: \iiint_V \left[ G \, \nabla \cdot \nabla u - u \, \nabla \cdot \nabla G \right]\, dV = \iiint_V \nabla \cdot \left[ G \nabla u - u \nabla G \right]\, dV = \iint_S \left[ G u_n -u G_n \right] \, dS。
un和Gn分别代表两个函数在边界S上的-{法向}-导数。考虑到u和G满足的条件，可将這滿足狄利克雷边界条件的公式化简为
: u(x',y',z') = \iiint_V G f \, dV - \iint_S G_n g \, dS。
所以格林函数描述了量f和g对 (x',y',z')点函数值的影响。
圓球殼案例
格林函数在半径为a的球面内的点上得值可以通过镜像法求得：距球心ρ的源点P的通过球面的“反射镜像”P' 距球心
: \rho' = \frac{a^2}{\rho}。
需要注意的是，如果P在球内，那么P*将在球外。于是可得格林函数为
:G= \frac{1}{4 \pi R} - \frac{a}{4 \pi \rho R'}；
其中，R表示距源点P的距离，R' 表示距镜像点P' 的距离。从格林函数上面的表示式可以推出泊松积分公式。设ρ、θ和φ为源点P的三个球坐标分量。此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（z轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同）。于是球面内拉普拉斯方程的解为：
: u(P) = \frac{1}{4\pi} a^3\left( 1 - \frac{\rho^2}{a^2} \right) \iint \frac{g(\theta',\varphi') \sin \theta' \, d\theta' \, d\varphi'}{(a^2 + \rho^2 - 2 a \rho \cos \Theta)^{3/2} }；
其中， \cos \Theta = \cos \theta \cos \theta' + \sin\theta \sin\theta'\cos(\theta -\theta')。
这个公式的一个显见的结论是：若u是调和函数，那么u在球心处的取值为其在球面上取值的平均。于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。
参见
- 球面调和函数
- 势流理论
- 電势
参考文献
- 严镇军编，《数学物理方程》，第二版，中国科学技术大学出版社，合肥，2002，ISBN 978-7-312-00799-6/O•177
- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 978-0-8218-0772-9
- I. G. Petrovsky, Partial Differential Equations, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.
- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 978-1-58488-299-2
A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics*, Academic Press, New York, 1949.
- Pijush K.Kundu, Fluid Mechanics, Academic Press, 2002.
外部链接
- [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde301.pdf 拉普拉斯方程（特解和边值问题）] 在EqWorld网站上的介绍（专门介绍数学方程的网站，英文）。
- [https://web.archive.org/web/20170703044238/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/PDE:Laplaces_Equation 初始值问题举例]exampleproblems.com网站上使用拉普拉斯方程解题的例子（英文）。
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