希爾伯特轉換
在数学和信号处理中，希尔伯特变换（）是一个对函数 u(t) 产生定义域相同的函数 H(u)(t) 的线性算子。 希尔伯特变换在信号处理中很重要，能够导出信号 u(t) 的解析表示。这就意味着将实信号 u(t) 拓展到复平面，使其满足柯西－黎曼方程。 例如，希尔伯特变换引出了傅里叶分析中给定函数的调和共轭，也就是调和分析。等价地说，它是奇异积分算子与的一个例子。 希尔伯特变换最初只对周期函数（也就是圆上的函数）有定义，在这种情况下它就是与…
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共 9 篇文章
調和共軛
在數學中，調和共軛（Harmonic conjugate）是針對函數的概念。定義在開集\Omega\subset\R^2中的函數u(x,\,y)，另一個函數v(x,\,y)為其共軛函數的充分必要條件是u(x,\,y)和v(x,\,y)需要是全純函數 f(z)（z:=x+iy\in\Omega）的實部及虛部。 因此，若f(z):=u(x,y)+iv(x,y)在\Omega中為全純函數，v就為u的共軛函數。而v和u也是\Omega中的调和函…
拉普拉斯算子
在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（）是由欧几里得空间中的一個函数的梯度的散度给出的微分算子，通常寫成 \Delta 、 \nabla^2 或 \nabla \cdot \nabla 。 這名字是為了紀念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天体力学在數學中首次应用算子，当它被施加到一个给定的重力位（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經…
哈纳克定理
哈纳克定理（）是复分析中有关调和函数序列收敛的定理，由哈纳克不等式得到。 假设 u_1(z), u_2(z), ...是复平面C的开连通子集G上的调和函数，并且在G中的每一点都有 :u_1(z) \le u_2(z) \le ... 如果极限 : \lim_{n\to\infty}u_n(z) 在G上的一点收敛，则在G上处处收敛于调和函数 : u(z) = \lim_{n\to\infty}u_n(z) 且收敛在G的任一闭子区域上一致。…
柯西-黎曼方程
复分析中的柯西-黎曼微分方程（），又称柯西-黎曼条件。是提供了可微函数在开集中為全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。 在一对实值函数 u(x, y) 和 v(x, y) 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程： :(1a) { \partial u \over \pa…
调和函数
在数学、数学物理学以及随机过程理论中，都有调和函数的概念。一个调和函数是一个二阶连续可导的函数f : U → R（其中U是Rn里的一个开子集），其满足拉普拉斯方程，即在U上满足方程： : \frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0 上式也经…
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学、熱力學和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写电場、引力場和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。 定義 三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ： 使用笛卡尔坐标， : \Delta…
狄利克雷原理
在数学中的位势论里，狄利克雷原理是关于在 \mathbb{R}^n 中的某个区域 \Omega 上的泊松方程 :\Delta u + f = 0\, 满足边界条件 :在 \partial\Omega 上 u=g \, 的解 u(x) 的刻画。原理说明，u(x) 是使得狄利克雷势能 :E[v] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla v|^2 - vf\right)\,\mathrm{d}x 最小的几…
外尔引理
外尔引理 是由德国数学家赫尔曼·外尔证明的一个结果。它提供了拉普拉斯方程的一个极弱形式。 引理的陈述 设f 为\mathbb{R}^n 中开集上的函数。u 为方程 :\Delta u=f 的一个分布解。若f 是光滑函数，则u 也是光滑的。特别地，若u 为分布意义下的调和函数，则u 是光滑的。 意义和推广 外尔引理是数学史上关于椭圆正则性的第一个结果。它可以被推广到一般椭圆算子的情形。