代数基本定理
代数基本定理（）说明，任何一个一元複系数多项式方程都至少有一个複数根。也就是说，複數域是代数封闭的。 有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次複系数多项式，都正好有 n 个複数根（重根視為多個根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有 n 个根。也就是说，任何一个 n 次多项式，都可以因式分解为 n 个複系数一次多项式的乘积。 尽管这个定理被命名为“代数基…
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共 31 篇文章
佩利-维纳定理
在数学领域，佩利-维纳定理（Paley–Wiener theorem）是一类将函数或分布在无穷远处的衰减性质与其傅立叶变换的解析性联系起来的定理。这一定理以雷蒙德·佩利（Raymond Paley，1907–1933）和诺伯特·维纳（1894–1964）的名字命名，他们在1934年提出了该定理的多个不同版本。最初的版本并未采用分布的语言，而是应用于平方可积函数。第一个采用分布理论的佩利-维纳型定理则由洛朗·施瓦茨提出。这些定理在很大程度…
欧拉公式
欧拉公式（，又稱-{zh-hans:尤拉; zh-hant:尤拉; zh-tw:歐拉;}-公式）是複分析领域的公式，它将三角函数與复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·歐拉而得名。歐拉公式提出，對任意实数 x，都存在 : e^{ix} = \cos x + i\sin x 其中 e 是自然对数的底数，i 是虚数單位，而 \cos 和 \sin 則是餘弦、正弦對應的三角函数，参数 x 則以弧度为单位。這一複數指數函數有時還寫作 （，余弦…
黎曼-罗赫定理
黎曼–罗赫定理（）是数学中的一个重要工具，在复分析和代数几何中的应用尤为广泛。利用该定理，可计算具有指定零点与极点的亚纯函数空间的维数。它将具有纯拓扑亏格 g 的连通紧黎曼曲面上的复分析以某种方式转换为纯代数背景。 此定理最初是黎曼不等式，对黎曼曲面的确定形式由伯恩哈德·黎曼早逝的学生于1850年代证明。随后推广到代数曲面，高维代数簇，等等。 预备记号 我们从一个亏格g的连通紧黎曼曲面开始，在上面取定一点P。我们想知道极点只在P的函数。…
皮卡定理
皮卡定理是两个不同的数学定理的泛称，由法国数学家埃米爾·皮卡证明。这两个定理都涉及解析函数的值域。 定理的表述 小定理 皮卡小定理说明，如果复变函数f(z)是整函数且不是常数，则f(z)的值域或者是整个复平面，或者只去掉一个点。 这个定理在1879年证明。它强化了刘维尔定理：任何不是常数的整函数都一定是无界的。 皮卡的原始证明利用了模λ函數（Modular lambda function）。证明概要如下：若f(z)的值域不包含复平面上的…
柯西積分公式
柯西积分公式是数学中复分析的一个重要结论，以十九世纪法国数学家奥古斯丁·路易·柯西命名。柯西积分公式说明了任何一个闭合区域上的全纯函数在区域内部的值完全取决于它在区域边界上的值，并且给出了区域内每一点的任意阶导数的积分计算方式。柯西积分公式是复分析中全纯函数“微分等同于积分”特性的表现。而在实分析中这样的结果是完全不可能达到的。 这个公式是柯西在1831年证明的。柯西在同年10月11日首次将其发表，并将它写入了1841年发表的《分析与数…
歐拉恆等式
歐拉恆等式是指下列的關係式： : 其中e\,是自然對數的底，i \,是虛數單位，\pi \,是圓周率。 這條恆等式第一次出現於1748年，瑞士數學、物理學家萊昂哈德·歐拉在洛桑出版的書《无穷小分析引论》。這是複分析的歐拉公式之特殊情況。 證明 : e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!（歐拉公式） : e^{i \pi}=\cos \pi+ i \sin \pi\,（代入x=\pi \,） : （因和） : 與歐…
索霍茨基-魏尔斯特拉斯定理
索霍茨基－魏尔斯特拉斯定理 (亦作Sokhotsky–Weierstrass 定理, Sokhotski–Plemelj formula, 或 魏尔斯特拉斯定理（勿与其他同名魏尔斯特拉斯定理混淆）是複分析中的一个定理，用于计算很多问题中出现的柯西主值。物理学问题中很多见，但鲜有其命名的引用。该定理源自Julian Sokhotski, Karl Weierstrass和Josip Plemelj。 定理陈述 令ƒ为定义在实数轴上的连续函…
魏尔施特拉斯分解定理
魏尔施特拉斯分解定理（）是指任意整函数f(z)可以分解为如下无穷乘积的形式： f(z)=z^me^{g(z)}\prod_{n=1}^\infty(1-\tfrac{z}{a_{n}})e^{\tfrac{z}{a_{n}}+\tfrac{1}{2}(\tfrac{z}{a_{n}})^2+\tfrac{1}{3}(\tfrac{z}{a_{n}})^3+\cdots+\tfrac{1}{h}(\tfrac{z}{a_{n}})^h}=…
卢曼-缅绍夫定理
卢曼-缅绍夫定理（）是复分析中的一条定理，可用于判断复函数的解析性。该定理指出，定义在复平面上某个区域内的连续函数是解析函数，当且仅当其视作\R^2 \to \R^2的映射时，四个偏导数处处存在且满足柯西-黎曼方程。该定理由卢曼于1923年提出，于1931年由缅绍夫给出完整证明。虽然定理涉及初等数学领域，但其证明需运用现代实变函数理论。 背景 定义在复平面内的区域上的复解析函数f {(x+iy)}=u+i v在整个定义域内满足柯西-黎曼…
黎曼映射定理
在數學中，黎曼映射定理是複分析最深刻的定理之一，此定理分類了\mathbb{C}的單連通開子集。 定理陳述 設D := \{z \in \mathbb{C} : |z| 為單位開圓盤，\Omega \subset \mathbb{C}為單連通開子集。若\Omega \neq \mathbb{C}，則存在一對一的全純映射f: \Omega \to D，使f^{-1}: D \to \Omega亦全純。換言之，\Omega與D 双全純同構。…
刘维尔定理 (复分析)
刘维尔定理（）是数学中复分析的一个定理，由19世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数（即在整个复数域\mathbb{C}上都是全纯函数）的值域进行了刻画。它表明，任何有界的整函数都一定是常数。 比刘维尔定理更进一步的是皮卡定理。後者说明，只要存在两个相异的复数，它们都不属于一个整函数的值域，则这个整函数是常数函数。 简介 整函数是指从复数域\mathbb{C}射到复数域，并且在整个复数域上都是全纯函数的函数。全纯也称为…
棣莫弗公式
棣莫弗公式（英語：de Moivre's formula）是一個關於複數和三角函數的公式，命名自法國數學家亞伯拉罕·棣美弗（1667年－1754年）。其內容為對任意实数x和整數n，下列性質成立： :( \cos (x) + i \sin (x) )^n = \cos (nx) + i \sin (nx) 其中i是虛數單位（i^2=-1）。值得注意的是，儘管本公式以棣美弗本人命名，他從未直接地將其發表過。為了方便起見，我們常常將\cos …
恒等定理
恒等定理（，或译作惟一性定理）可以看成是柯西积分公式的补充定理，它们都反映解析函数的特性，同是解析函数论中最基本的定理。惟一性定理揭示了解析函数一个非常深刻的性质，函数在区域D内的局部值确定了函数在区域D内整体的值，即局部与整体之间有着十分紧密的内存联系。 定理陈述 设函数f_1(z)和f_2(z)在区域D内解析，若\{z_n\} \subset D收敛于a\in D, (z_n \neq a)，且f_1(z_n) = f_2(z_n)…
柯西-阿达马公式
柯西－阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）为複分析（Complex analysis）中求单複变形式幂级数收敛半径的公式，以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西和雅克·阿达马的名字命名。 公式陈述 对于单一复数变量“z”的形式幂级数 :f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z-a)^{n}. 上式中a, c_n\in\mathbb{C}, 则该级数收敛半径 R 由下式给出： :\fra…
哈纳克定理
哈纳克定理（）是复分析中有关调和函数序列收敛的定理，由哈纳克不等式得到。 假设 u_1(z), u_2(z), ...是复平面C的开连通子集G上的调和函数，并且在G中的每一点都有 :u_1(z) \le u_2(z) \le ... 如果极限 : \lim_{n\to\infty}u_n(z) 在G上的一点收敛，则在G上处处收敛于调和函数 : u(z) = \lim_{n\to\infty}u_n(z) 且收敛在G的任一闭子区域上一致。…
留数定理
在複分析中，留数定理，又叫残数定理（），是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推论。 定理 假设U是复平面上的一个单连通开子集，a_1, \cdots, a_n是复平面上有限个点，f是定义在U\setminus{a_1, \cdots, a_n}的全纯函数。如果\gamma是一条把a_1, \cdots, a_n包围起来的可求长闭曲线，但不经过任何一个a_k，…
玻尔-莫勒鲁普定理
玻尔-莫勒鲁普定理（）是基础数学分析中刻划Γ函数性质的一个定理，由丹麦数学家哈拉尔德·玻尔和约翰尼斯·莫勒鲁普（Johannes Mollerup）证明。该定理指出在的区间上，Γ函数 :\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt 是唯一同时满足以下3条性质的函数： 。 对一切的，有。 * 是對數凸函數。 定理最早是出现在一本复分析教科书中，当时玻尔和莫勒鲁普都以为这是一个人们肯定已经知道的结果。…
阿贝尔定理
阿貝爾定理是冪級數的一個重要結果。 定理 設f(z)= \sum_{n \geq 0} a_n z^n為一冪級數，其收斂半徑為R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数z_0，级数\sum_{n\geq 0} a_n z_0^n收斂，則有: \lim_{t\to 1^-} f(t z_0) = \sum_{n \geq 0} a_n z_0^n。 若\sum_{n \geq 0} a_n R^n收斂，則結果顯然成立，無須引用…
蒙泰尔定理
蒙泰尔定理是法国数学家保罗蒙泰尔于1912年发现的复分析领域的定理。 定理内容 若定义在复平面上开集\Omega上解析函数族\mathcal{F}在\Omega的任意子集上都是一致有界的，则解析函数族\mathcal{F}是正规族。反之亦然，前后命题互为充分必要条件。 参考文献