不完全Γ函數
在数学中，上不完全Γ函数和下不完全Γ函数是 \Gamma函数的推广。它们的定义分别如下： : \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t .\,\! \qquad \gamma(s,x) = \int_0^x t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t .\, \quad \Re(s)>0, x\in\mathbb R_0^+ 通过解析延拓可以将定义域拓展到 C…
标签：#伽玛及相关函数
共 15 篇文章
階乘
在數學中，正整数的階乘（）是所有小於等於該數的正整數的積，记作n!，例如5的階乘表示為5!，其值為120： : 並定義，1的階乘1!和0的階乘0!都為1，其中0的階乘表示一個空積。 除外{{notetag|例如：1! = 0! = 1\,，(-0.5)! = \sqrt{\pi}，0.5!=0.5\sqrt{\pi}.}}]] 1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法：n!=\prod_{k=1}^n k \quad\forall n\g…
倒數伽瑪函數
的倒數的函數圖形]] ]] 在數學中，倒數伽瑪函數（英語：Reciprocal gamma function）是指伽瑪函數的倒數： :f(z) = \frac{1}{\Gamma(z)} 其中，代表伽瑪函數。由於伽瑪函數在整個複數平面上皆非零且為亚纯函数，因此其倒數是一個整函数。 倒數伽瑪函數是一個1階整函數，其表示了的成長速度不會高過。雖為1階整函數但屬無窮型，也就是說的增長速度比任何的倍數都快，因為它的增長與左手平面上的大致成比例。…
双伽玛函数
上的双伽玛函数 \psi(s) 。点 s 的颜色与 \psi(s) 的值有关。强烈的颜色意味着接近于零的值，而色彩则与辐角有关。]] 双伽玛函数是伽玛函数的。 :\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}. 它是第一个多伽玛函数。 与调和数的关系 双伽玛函数，通常用ψ0(x)、ψ0(x)或\Digamma来表示，与调和数有以下的关系： :\psi(…
遞進階乘與遞降階乘
在数学中，階乘冪（）是基于自然數数列积的一种运算，分為遞進階乘（）和遞降階乘（），或稱上升階乘和下降階乘， 定义 遞進階乘与遞降階乘有多种书写方式。 由引进的珀赫哈默尔符號（Pochhammer symbol）是常用的一种，分別為\ x^{(n)} 与 \ (x)_n 。 一种较为少见的写法将遞進階乘記作 \ (x)^+_n 。 葛立恒、高德纳与在《具体数学》一书中，則引进符號 x^{\overline{n}} 与 x^{\underl…
Β函数
Β函数，又称为贝塔函数或第一类欧拉积分，是一个特殊函数，由下式定义： : \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm{d}t \! 其中\textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0\,。 性质 Β函数具有以下對稱性質： : \Beta(x,y) = \Beta(y,x). \! 当x, y是正整数的时候，我们可以从階乘或是伽马函数其中\Gam…
史特靈公式
史特靈公式（）是一條用來取n階乘近似值的數學公式。一般來說，當n很大的時候，n階乘的計算量十分大，所以史特靈公式十分好用，而且，即使在n很小的時候，史特靈公式的取值已經十分準確。這個公式以的名字命名，雖然亞伯拉罕·棣美弗早於史特靈提出了一個類似的公式，但結果較不精確。 史特靈公式为： :n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}. 这就是说，对于足够大的整数n，这两个数…
反伽瑪函數
{{multiple image | total_width = 450 | image1 = Inverse of Gamma function.svg | caption1 = 反伽瑪函數\Gamma^{-1}(x)的函數圖形 | image2 = Inverse gamma function in complex plane.png | caption2 = 反伽瑪函數\Gamma^{-1}(x)在複數域的色相環複變函數圖形 }}…
Γ函数
]] 在數學中，\Gamma \,函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果n為正整數，則： : \Gamma(n) = (n-1)! 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上： : \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\rm{d}t, \Re(z)>0. 数学家勒讓德首次使用了希腊字母Γ作为该函数的记号。在機率論和组合数学…
玻尔-莫勒鲁普定理
玻尔-莫勒鲁普定理（）是基础数学分析中刻划Γ函数性质的一个定理，由丹麦数学家哈拉尔德·玻尔和约翰尼斯·莫勒鲁普（Johannes Mollerup）证明。该定理指出在的区间上，Γ函数 :\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt 是唯一同时满足以下3条性质的函数： 。 对一切的，有。 * 是對數凸函數。 定理最早是出现在一本复分析教科书中，当时玻尔和莫勒鲁普都以为这是一个人们肯定已经知道的结果。…
K函数
K函数是hyper阶乘函数在复数上的扩展，如同Γ函数是阶乘函数在复数上的扩展。 K函数的定义为： :K(z)=(2\pi)^{(-z-1)/2} \exp\left[\begin{pmatrix} z\\ 2\end{pmatrix}+\int_0^{z-1} \ln(t!)\,dt\right]. 还可以写成闭合形式： :K(z)=\exp\left[\zeta^\prime(-1,z)-\zeta^\prime(-1)\right]…
阿達馬伽瑪函數
在數學中，阿達馬伽瑪函數或阿達馬的伽瑪函數（Hadamard's gamma function）是除了伽瑪函數之外的另一種階乘的擴展定義方式，以雅克·阿达马命名。此函數可以視為將階乘的參數向左平移1，並且在階乘的非整數部分插值，但是有別於歐拉伽瑪函數將階乘擴展到實數和複數的定義。阿達馬的伽瑪函數的定義為： :H(x) = \frac{1}{\Gamma (1-x)}\,\dfrac{d}{dx} \left \{ \ln \left (…
QBeta函数
qBeta函数是B函数的q模拟 :B_q(a,b)=\frac{\Gamma_q(a)\cdot \Gamma_q(b)}{\Gamma_q(a+b)} 其中\Gamma_q(a)是QΓ函数。 當b > 0且a \neq 0, -1, -2, \ldots時，該函數亦可以和q階乘冪定義： :B_q(a, b) = \int_0^1 x^{b-1} \frac{(qx;q)_\infty}{(q^a x;q)_\infty}\mathrm…
巴尼斯G函数
巴尼斯G函数是超级阶乘函数在复数上的扩展。它与Γ函数、K函数以及格莱舍常数（Glaisher constant）有关。以数学家欧尼斯特·巴尼斯（Ernest William Barnes）的名字命名。 巴尼斯G函数可以通用魏尔施特拉斯分解定理的形式定义为： :G(z+1)=(2\pi)^{z/2} e^{-[z(z+1)+\gamma z^2]/2}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}…
多伽玛函数
\boldsymbol{m}阶多伽玛函数*是伽玛函数的第(\boldsymbol{m+1})个对数导数。 :\psi^{(m)}(\zeta)=\left(\frac{d}{d\zeta}\right)^m\psi(\zeta)=\left(\frac{d}{d\zeta}\right)^{m+1}\ln\Gamma(\zeta) 在这里 :\psi(\zeta)=\psi^{(0)}(\zeta) = \frac{\Gamma'(\z…