Γ函数

]]

在數學中，\Gamma \,函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果n為正整數，則：
: \Gamma(n) = (n-1)!

根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：
: \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\rm{d}t, \Re(z)>0.
数学家勒讓德首次使用了希腊字母Γ作为该函数的记号。在機率論和组合数学中此函數很常用。

定義
\Gamma \,函數可以通过欧拉（Euler）第二类积分定義：
:\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\rm{d}t
对复数z\,，我们要求\mathrm{Re}(z) > 0。

\Gamma函數还可以通过对\mathrm{e}^{-t}\,做泰勒展开，解析延拓到整个复平面：
\Gamma(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t}{\rm{d}}t+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{n+z}

这样定义的\Gamma函數在全平面除了z=0,-1,-2,\ldots以外的地方解析。

\Gamma函數也可以用无穷乘积的方式表示：
:\Gamma(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{z}

这说明\Gamma(z)是亚纯函数，而\frac{1}{\Gamma(z)}是全纯函数。

历史動機
Γ函數本身可以被看作是一個下列插值問題的解：

『找到一個光滑曲線連接那些由 y = (x - 1)! 所給定的點(x, y)，並要求x要為正整數』

由前幾個的階乘清楚地表明這樣的曲線是可以被畫出來的，但是我們更希望有一個精確的公式去描述這個曲線，並讓階乘的操作不會依賴於x值的大小。而最簡單的階乘公式 x! = 1 \times 2 \times \cdots \times x 不能直接應用在x值為分数的時候，因為它被限定在x值為正整數而已。相對而言，并不存在一個有限的關於加總、乘積、冪次、指數函數或是對數函數可以表達 x!，但是是有一個普遍的公式藉由微積分的積分與極限去表達階乘的，而 Γ函數就是那個公式。

階乘有無限多種的連續擴張方式將定義域擴張到非整數：可以通過任何一組孤立點畫出無限多的曲線。Γ函數是實務上最好的一個選擇，因為是解析的(除了非正整數點)，而且它可以被定義成很多種等價形式。然而，它並不是唯一一個擴張階乘意義的解析函數，只要給予任何解析函數，其在正整數上為零，像是 k\sin (m\pi x)，會給出其他函數有著階乘性質。

無窮乘積
\Gamma\,函數可以用無窮乘積表示：
:\Gamma(z) = \lim_{n \to {\infty}} n! \; n^z\prod_{k=0}^{n} (z+k)^{-1}
:\Gamma(z) = \frac{\mathrm{e}^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \mathrm{e}^{\frac{z}{n}}
其中\gamma\,是欧拉-马歇罗尼常数。

Γ積分
:1= \int_{0}^{\infty}\frac{x^{\alpha-1}\lambda^\alpha \mathrm{e}^{-\lambda x}}{\Gamma\left(\alpha \right)} {\rm{d}} x

\implies
\frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha}
=
\int_{0}^{\infty}
x^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-\lambda x} {\rm{d}}x

递推公式
\Gamma \,函数的递推公式为：
\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)，

对于正整数n\,，有
: \Gamma(n+1)=n!，
可以说 \Gamma \,函数是階乘的推廣。

递推公式的推导
\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n + 1 - 1} \mathrm{d}x = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n {\rm{d}}x

我们用分部积分法来计算这个积分：

\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n \mathrm{d}x = \left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n - 1} {\rm{d}} x

当x=0 \,时，\tfrac{-0^n}{\mathrm{e}^0} = \tfrac{0}{1} = 0。当x \,趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：

\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{\mathrm{e}^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{\mathrm{e}^x} = 0.

因此第一项\left[\tfrac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^\infty 变成了零，所以：

\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty \frac{x ^{n - 1}}{\mathrm{e}^x} {\rm{d}}x

等式的右面正好是n \Gamma(n)\,, 因此，递推公式为：

:{\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)} \,.

重要性质

當z\to 0^+時，\Gamma(z)\to+\infty
歐拉反射公式（余元公式）：

: \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0.
:由此可知当\ z=\tfrac{1}{2}时，\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.

伽马函数还是负自然指数函数的梅林变换: \Gamma(z)=\mathcal{M}\{e^{-x}\}(z).

乘法定理：

:\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \tfrac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)。
:\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \tfrac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \tfrac{2}{m}\right) \cdots
\Gamma\left(z + \tfrac{m-1}{m}\right) =
(2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} \; m^{\frac{1}{2} - mz} \; \Gamma(mz).

此外：

:\Gamma\left(n+\tfrac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!\sqrt{\pi}}{n!4^n}.

使用乘法定理推導的關係：

:\Gamma(1/6) = \Gamma(1/3)^2 / \sqrt{\pi} 2^{2/3} \sin({\pi/3}).
:\Gamma(5/6) = 1 / \Gamma(1/3)^2 \sqrt{\pi}^3 2^{4/3} / \sqrt{3}.
:\Gamma(1/10) = \Gamma(1/5) \Gamma(2/5) / \sqrt{\pi} 2^{4/5} \sin({2\pi/5}).
:\Gamma(3/10) = \Gamma(1/5) / \Gamma(2/5) \sqrt{\pi} / 2^{3/5} / \sin({3\pi/10}).
:\Gamma(7/10) = \Gamma(2/5) / \Gamma(1/5) \sqrt{\pi} 2^{3/5}.
:\Gamma(9/10) = 1 / (\Gamma(1/5) \Gamma(2/5)) \sqrt{\pi}^3 / 2^{4/5} / (\sin(\pi/10) \sin({2\pi/5})).

此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F分布機率密度函數等的累計機率。

極限性質

對任何實數α
:\lim_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n)n^{\alpha}} = 1, \qquad \alpha\in\mathbf{R}

斯特靈公式
{{函數圖形|title=Γ函數與斯特靈公式|width=200|height=100|number class=複數|nonreal is nan=1|round number=8
|start=-0.815513|end=2.85236|min=0|max=5|sampling=200
|1 = gamma(x+1) | 1 name=gamma(z+1)
|2 = sqrt(2pix)*(x/e)^x | 2 name=√(2πx)(x/e)^x
|caption=\Gamma(z+1)（藍色）、\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z（橘色），數字越大\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z,會越趨近\Gamma(z+1)。但\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z會在負值則會因為出現虛數而無法使用。}}

斯特靈公式能用以估計\Gamma(z)函数的增長速度。公式為：
:\Gamma(z+1)\sim\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z,
其中e約等於。

特殊值
:\begin{array}{rcccl}
\Gamma\left(-\tfrac{3}{2}\right) &=& \tfrac{4}{3} \sqrt{\pi} &\approx& 2.363\,271\,801\,207 \\
\Gamma\left(-\tfrac{1}{2}\right) &=& -2\sqrt{\pi} &\approx& -3.544\,907\,701\,811 \\
\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right) &=& \sqrt{\pi} &\approx& 1.772\,453\,850\,906 \\
\Gamma(1) &=& 0! &=& 1 \\
\Gamma\left(\tfrac{3}{2}\right) &=& \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} &\approx& 0.886\,226\,925\,453 \\
\Gamma(2) &=& 1! &=& 1 \\
\Gamma\left(\tfrac{5}{2}\right) &=& \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi} &\approx& 1.329\,340\,388\,179 \\
\Gamma(3) &=& 2! &=& 2 \\
\Gamma\left(\tfrac{7}{2}\right) &=& \tfrac{15}{8}\sqrt{\pi} &\approx& 3.323\,350\,970\,448 \\
\Gamma(4) &=& 3! &=& 6
\end{array}
连分数表示

伽马函数也可以在复数域表示为两个连分数之和：

\Gamma (z)=\cfrac{e^{-1}}{2+0-z+1\cfrac{z-1}{2+2-z+2\cfrac{z-2}{2+4-z+3\cfrac{z-3}{2+6-z+4\cfrac{z-4}{2+8-z+5\cfrac{z-5}{2+10-z+\ddots}}}}}}+\cfrac{e^{-1}}{z+0-\cfrac{z+0}{z+1+\cfrac{1}{z+2-\cfrac{z+1}{z+3+\cfrac{2}{z+4-\cfrac{z+2}{z+5+\cfrac{3}{z+6-\ddots}}}}}}}

导数
對任何複數z，滿足 Re(z) > 0，有

:\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}z^n}\,\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} (\ln t)^{n} dt

於是，對任何正整數 m

:\Gamma'(m+1) = m! \left( - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)\,

其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數。

复数值
:\Gamma(x+{\rm{i}}y)=\left\{\int_1^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\mathrm{e}^t}\cos (y\ln t){\rm{d}}t+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\left[\frac{k+x}{(k+x)^2+y^2}\right]\right\}+{\rm{i}}\left\{\int_1^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\mathrm{e}^t}\sin (y\ln t){\rm{d}}t-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}{\left[\frac{y}{(k+x)^2+y^2}\right]}\right\}\,

解析延拓
注意到在\Gamma函數的積分定義中若取z \,為實部大於零之複數、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程
: \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0
並注意到函數\sin (\pi z) \,在整個複平面上有解析延拓，我們可以在\mathrm{Re}(z)時設
: \Gamma(z) = \dfrac{\pi}{\Gamma(1-z) \sin{\pi z}}
從而將\Gamma \,函數延拓為整個複平面上的亞純函數，它在z=0,-1,-2,-3\cdots有單極點，留數為
: \mathrm{Res}(\Gamma, -n) = \dfrac{(-1)^n}{n!}.

程式實現
許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函数或對數的Γ函数，例如EXCEL。而對數的Γ函数還要再取一次自然指數才能獲得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用EXP[GAMMALN(X)]，即可求得任意實数的伽玛函数的值。
*例如在EXCEL中：EXP[GAMMALN(4/3)]=
而在沒有提供Γ函数的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十進制可獲得有效數-{}-字八位數的精確度，已足以填滿單精度浮點數的二進制有效數-{}-字24位：
:\Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2 \pi}{z} } \left( \frac{z}{e} \sqrt{ z \sinh \frac{1}{z} + \frac{1}{810z^6} } \right)^{z}

参见

双伽玛函数
多伽玛函数
倒數伽瑪函數
反伽瑪函數

*伽玛分布

B函數

參考文獻
外部链接

评论 (0)