解析函数
在數學中，解析函数（）是局部上由收斂冪級數給出的函數。解析函數可分成實解析函數與複解析函數，兩者有類似之處，同時也有重要的差異。两种类型的解析函数都是无穷可导的，但复解析函数表现出一些一般实解析函数不成立的性质。此外在超度量域上也可以定義解析函數，這套想法在當代數論與算術代數幾何中有重要應用。一个函数是解析函数当且仅当这个函数在它定义域内的每个点的邻域内的泰勒级数都收敛。 解析函數集有時也寫作 C^\omega。 定義 形式地說，设開集…
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自守形式
數學上所謂的自守形式（），是一類特別的複變數函數，並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式與馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示，嚴格言之，自守表示並非尋常意義下的群表示，而是整體赫克代數上的模。 龐加萊在1880年代曾研究過自守形式，他稱之為富克斯函數。郎蘭茲綱領探討自守表示與數論的深入聯繫。 古典定義 設 \Gamma 為作用於複區域 D 的離散群。取定自守因子 j_{\gamma}(x), \;(\gamma…
Γ函数
]] 在數學中，\Gamma \,函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果n為正整數，則： : \Gamma(n) = (n-1)! 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上： : \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\rm{d}t, \Re(z)>0. 数学家勒讓德首次使用了希腊字母Γ作为该函数的记号。在機率論和组合数学…
橢圓函數
在複分析中，橢圓函數是複平面上的雙週期亞純函數。歷史上，橢圓函數起初被視作橢圓積分之逆。 更明確地說，固定\mathbb{C}中的格\Lambda := \mathbb{Z}a \oplus \mathbb{Z}b \subset \mathbb{C}（a,b \in \mathbb{C}），亞純函數f是\Lambda的橢圓函數，若且唯若對每個z \in \mathbb{C}, \ell \in \Lambda皆有f(z+\ell)=f…
拟共形映射
擬共形映射又稱擬保角映射，原本是複分析中的一套技術手段，現已發展為一套獨立學科。其定義如下。 固定實數 K > 0。 設 D, D' 為平面上的開子集，連續可微函數 f: D \to D' 保持定向。若在每一點上其導數 f' 將圓映至離心率小於等於 K 之橢圓，則稱 f 為 K-擬共形映射。由此可見共形映射是 1-擬共形映射。 若存在 K 使 f 為擬共形映射，則稱 f 為擬共形映射。 擬共形映射的定義也可以延伸至較高維度或非連續可微的…
極性集
在數學中，極性集是位勢論裡的一個重要概念，地位有比零測度集之於測度論，極性集合在位勢論中也代表一類特別「小」的集合，通常可以忽略不計。 定義 \mathbb{R}^n \;(n \geq 2)裡的極性集可以如下定義：E是極性集若且唯若存在非常數的次調和函數u，使得 : E \subset \{x \in \mathbb{R}^n : u(x) = -\infty \} 在\mathbb{R}^2 (\cong \mathbb{C})的情…
哈代空間
在複分析中，哈代空間（或哈代類）H^p是單位圓盤或上半平面上的某類全純函數。高德菲·哈羅德·哈代首先在1915年考慮這類問題。在實分析中，實哈代空間是複哈代空間的成員在實數軸上的邊界值。對於1 ，實哈代空間基本上等於L^p空間。當p \leq 1時，L^p空間較難操作，而哈代空間的性質就比較容易掌握。 在較高維的情況，我們可考慮管狀域（複數情形）及\mathbb{R}^n上的函數，從而得到相應的定義。 哈代空間在數學分析、控制論及散射理…
法圖-比伯巴赫域
數學上，法圖-比伯巴赫域是指\Complex^n中的一類真子區域，這類區域雙全純於\Complex^n 。換言之，開區域\Omega \subset \Complex^n \; (\Omega \neq \Complex^n)稱為法圖-比伯巴赫域，若存在雙射全純函數f:\Omega \to \Complex^n及全純反函數 f^{-1}:\Complex^n \rightarrow \Omega。 歷史 從黎曼映射定理結果可知，當n =…
容度
在數學中，容度是位勢論裡描述一個集合大小的概念。 定義 一如測度之於測度論，容度在某種意義下描述一個集合的大小。容度出現在許多數學領域中，特別是逼近理論或複分析。它的起源則與靜電學中電容的概念有關。 對於 \mathbb{R}^n \;(n \geq 2) 上一個有限且帶緊支集的博雷尔测度 μ ，可以抽象地定義相應的位勢函數： :p_{\mu}(z)=\int \frac{\mathrm d\mu(w)}{|z-w|^{n-2}} 這裡…