代數數論
在數學中，代數數論（）是數論的一支，在这个数学分支中，「數」的概念延伸到代数数上，以解決具體的數論問題。這類數是有理係數多項式的根。與此相關的概念是數域，這是有理數域的有限擴張。依照同样的动机，整數可以被推广为為代數整數，然后研究一個數域裡的代數整數。 代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又稱算術基本定理），這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇…
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共 16 篇文章
贝赫和斯维讷通-戴尔猜想
伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想（）又稱伯奇-斯溫納頓-戴爾猜想（），簡稱BSD猜想，中文維基百科曾經翻譯成貝赫和斯維訥通-戴爾猜想，是現代數學最重要的未解問題之一，也是克雷數學研究所七大千禧年大獎難題之一。屬於橢圓曲線上的數論領域。 該猜想以數學家和的名字命名，他們於1965年首次提出了這一猜想。它描述了阿貝爾群的算术性质与解析性质之间的联系，即對有理數域上的任一橢圓曲線，其L函式在1的化零階（Order of vanishing）等於此曲線…
最終 (數學)
在數學分析跟數論等數學領域中，若說一個無限序列或函數最終有某種性質，則意味著這性質雖然未必對所有經過排序後的例子成立，但對於某個例子之後的所有例子都成立。而所謂的「最終」一詞，又可用「對於充分大的數而言」或「對於足夠大的數而言」等表述代替，且可延伸到定義在任意有序集的元素（像是實數集合\mathbb{R}的子集或者是序列）的性質之上。 表記 跟「最終」（或充分大、足夠大等）相關的句子的一般形式如下： :P最終對x成立（或說「P對於任意充…
自守形式
數學上所謂的自守形式（），是一類特別的複變數函數，並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式與馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示，嚴格言之，自守表示並非尋常意義下的群表示，而是整體赫克代數上的模。 龐加萊在1880年代曾研究過自守形式，他稱之為富克斯函數。郎蘭茲綱領探討自守表示與數論的深入聯繫。 古典定義 設 \Gamma 為作用於複區域 D 的離散群。取定自守因子 j_{\gamma}(x), \;(\gamma…
亨泽尔引理
亨泽尔引理（）是数学中模算术的一個结论。亨泽尔引理说明，如果一个模（是给定的质数）的多项式方程有一个单根，则可以通过这个根求出该方程在模的更高次方时的根。在完备交换环（包括p进数）中，亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单，亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。 定理内容 設f(x)為整係數多項式，k為不少於2的整數，p為質數。若整數r是下面同餘式的根： : f(r) \equiv…
唯一分解整環
在數學中，唯一分解整环（，縮寫：UFD）是一個整環，其中元素都可以表示成有限個不可約元素（或素元）之積，並且表示法在允許重排與相伴（associative）之下唯一，相當於滿足算術基本定理的整環。 定義 一個整環R被稱為唯一分解整环若且唯若R中的每個非零元素x皆可表示為一個可逆元素和若干個不可約元素（可以是0個）的乘積： : x = u p_1 p_2 \cdots p_n 其中u是一個可逆元素，p_1, \cdots ,p_n是不可約…
元因數
在數學上，元因數（）是指一種特殊的因數。若一整數a是另一整數b的因數，且a和\frac{b}{a}互質，則整數a為整數b的元因數。 元因數的概念是來自 (1931)，他當時用的名稱是block divisor。 例子 以60為例，5和\frac{60}{5}=12互質，因此5是整數60的元因數。 而6和\frac{60}{6}=10不互質，因此6不是整數60的元因數， 元因數和 一數字的元因數和函數可以用小寫希臘字母表示σ(n)。元因數…
輔助函數
在數學上，輔助函數（auxiliary functions）是超越數論中重要的建構物。這些函數出現在這類領域多數的證明中，並具有特定且理性的性質，如在許多論證中，這類函數會等於零，或者會有高次值等於零的點。 定義 輔助函數並非一類嚴格定義的函數，而更多是特別建構出來，或至少被證明存在，並被引用來顯示某些假設會導出矛盾，或證明問題中的結果的函數。為了證明結果而在證明過程中建構某個函數的作法，並不僅限於超越數論的研究，然而「輔助函數」一詞通…
阿廷猜想
在數論中，阿廷猜想是任何一個既不是平方數也不是-1的整數都是無窮多個質數的原根，此猜想由埃米爾·阿廷提出。 如果這個整數不是次方數，而且他的無平方因數部分除以4的餘數也不是1，則這些質數在質數集合中的密度為0.3739558136...，該數也被稱作阿廷常數。 例如1000以內，以2為原根的質數有67個，1000以內的所有質數共有168個，其比例為67/168=0.3988095238...
哥隆尺问题
哥隆尺問題（Golomb ruler），是如何在一把尺上劃分刻度，使所有刻度彼此之間的距離都不相同。刻度的數目稱為階，而兩個刻度間最長的距離為長度。對哥隆尺做平移或鏡像並不影響結果，因此習慣上將最小刻度設為 0 。 哥隆尺是由Sidon和Babcock各自独立发现，并且以数学家所羅門·格倫布的名字命名。 哥隆尺不需要能够測量到其自身長度為止的所有距离，如果能夠的话，稱為完美哥隆尺。已經证明不存在五階以上的完美哥隆尺。最優哥隆尺則是同一階…
数的韧性
数的韧性是針對正整數的特性，是指此整數需連續進行幾次特定的處理才能到達不動點，數字不再變動。 数的韧性一般可分為加法韧性及乘法韧性，前者是反覆針對數字的各位數字求和（即數字和），後者則是反覆計算各位數字的乘積，當數字為1位數時即為不動點，數字不會再變動。因為結果會依各位數字的有所不同，数的韧性也和進制有關，以下只考慮十進制的情形求和。 當反覆計算數字和時，最後的不動點即為該數字的數字根。因此一數字的加法韧性也可以定義為一數字需計算幾次數…
戴德金和
戴德金和（Dedekind sum）是德國數學家理查德·戴德金在跟戴德金η函數有關的工作中提出的。 定義這個函數，首先要定義((x))：若x是整數，((x))=0，否則為x-[x]-0.5，其中[x]是最大而又不大於x的整數。 對於非零整數h,k，戴德金和s(h,k)定義為 s(h,k) = \sum_{\mu = 0}^{k-1} ((\frac{\mu}{k})) ((\frac{h \mu}{k})) 若h,k互質且均大於0，有s…
真因子和數列
選擇一個正整數k作為一個數列的開首，數列的之後的項都是上一項的真因子之和（因數函數\sigma_1），即： s_0 = k s_n = \sigma_1(s_{n-1}) - s_{n-1} 這樣組成的數列稱為真因子和數列（aliquot sequence）。 例如取10為首項，之後是1+2+5=8, 1+2+4=7, 1=1（任何質數的唯一真因子都是1，1沒有真因子）。 真因子和數列有幾種可能的發展方式： 在1結束：好像上面的10、任…
3x + 1半群
在代數學中，*3x + 1半群是所有正有理數形成的乘法半群中一個特殊的子半群。這個半群生成集裡的元素和尚未解決的考拉茲猜想中涉及的數列有關。 3x + 1半群曾經被用以證明考拉茲猜想一個較弱的形式。事實上正是因為如此，H. Farkas才會在2005年提出這個概念。 3x + 1半群大部分的推廣形式都已被構造並研究過了。 定義 3x + 1半群是一個由正有理數形成的乘法半群，並由集合 :\{2\}\cup \left\{\frac{2k…
葛萊佘-金可林常數
在數學中，葛萊佘-金可林常數或葛萊佘常數，通常表示為A，是一個數學常數，與K函數和伯恩斯G函數有關。常數出現在許多和和積分中，特別是涉及伽瑪函數和澤他函數的那些。它以數學家詹姆士·惠特布里德·李·葛萊佘和赫爾曼·金可林的名字命名。 它的近似值是： :A\approx1.2824271291\dots . 葛萊佘-金可林常數A可以由極限: :A=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{K(n+1)}{n^{n^2/…
等冪和問題
等冪和問題是數論中一個有趣的問題，所謂等冪和即將左右不全等的等式兩邊各數字做同次方(冪)並相加後，能使等式成立，即能滿足下方一系列等式者，稱作「等冪和」。 a_1^1 + a_2^1 + a_3^1 + ... + a_n^1 = b_1^1 + b_2^1 + b_3^1 + ... + b_n^1 a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2 = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + ... + …