希爾伯特第十六問題
希爾伯特第十六問題，是希爾伯特的23個問題之一。它分成兩個部份： 實代數曲線與曲面的拓撲結構 哈纳克在1876年證明了一個平面上n次實代數曲線最多有\frac{n^2-3n+4}{2}個分支。希爾伯特提議研究這些分支之間的拓撲性質，並將哈纳克的估計推廣到空間裡的實代數曲面。 極限環的拓撲結構 給定二元n次實多項式P(x,y)和Q(x,y)，考慮下述平面上的動力系統： \begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}x}{\…
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雅可比猜想
雅可比猜想（）是代數幾何領域中的一個問題，探討多變量的可逆性。該猜想由數學家奧特-海因里希·凱勒於1939年提出，其後經命名並推廣。猜想斷言：若一個多項式映射的雅可比行列式為非零常數，則該映射必存在多項式反函數。這個問題的表述只需微積分與基礎代數知識即可理解，但背後涉及的數學結構較為複雜。 雅可比猜想多年來吸引眾多數學家研究，史蒂芬·斯梅爾將其列入斯梅爾問題第十六題。歷史上曾有多位學者發表證明，但事後被發現存在錯誤，至少有數篇公開發表的…
贝赫和斯维讷通-戴尔猜想
伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想（）又稱伯奇-斯溫納頓-戴爾猜想（），簡稱BSD猜想，中文維基百科曾經翻譯成貝赫和斯維訥通-戴爾猜想，是現代數學最重要的未解問題之一，也是克雷數學研究所七大千禧年大獎難題之一。屬於橢圓曲線上的數論領域。 該猜想以數學家和的名字命名，他們於1965年首次提出了這一猜想。它描述了阿貝爾群的算术性质与解析性质之间的联系，即對有理數域上的任一橢圓曲線，其L函式在1的化零階（Order of vanishing）等於此曲線…
扎里斯基拓扑
的扎里斯基拓撲中，此多项式的圖像是閉集。]] 在代数几何和交换代数中，扎里斯基拓扑是定義在代数簇上的拓扑。其由奥斯卡·扎里斯基首先提出，及後用作給出一般交换环的素理想集的拓撲結構，稱為環的谱。 有了扎里斯基拓扑，無論一個代數簇的基域是否一個拓撲域（即一個域，其上可定義一個拓撲，使得加法和乘法都是連續函數），都可應用拓扑学的工具到代数簇的研究上。这是概形论的基本思想，有了它才允许將多個仿射簇黏合，而成一個一般的代數簇，正如流形理论中，流形…
霍奇理论
在數學中，霍奇理論（英語：Hodge theory），以威廉·瓦倫斯·道格拉斯·霍奇命名，是一種使用偏微分方程研究光滑流形 M 的上同調群的方法。 其關鍵觀察在於，給定 M 上的一個黎曼度量，每個上同調類都有一個規範代表元，即在該度量的拉普拉斯算子下消失的微分形式。這樣的形式被稱為調和形式（harmonic forms）。 該理論由霍奇在 1930 年代開發，旨在研究代數幾何，它建立在喬治·德·拉姆關於德拉姆上同調的工作基礎之上。它在兩…
霍奇猜想
來檢測，其中非零類 [\alpha]\in H_\text{sing}^k(X) 的存在表明空間 X 有一個（k 維）洞。這樣的一個類由單純形的上鏈表示，如左側由 1-單純形（線段）構成的紅色多邊形所示。這個類通過圍繞洞 A 來檢測它。這個例子中，實際存在一個多項式方程，其零點集（如右側綠色所示）也通過圍繞它來檢測這個洞。霍奇猜想將這一陳述推廣到了更高維度。]] 在數學中，霍奇猜想（）是代數幾何和中一個主要的未解決問題，它將複代數簇的代…
有理映射
在代數幾何中，有理映射是定義在概形的稠密開集上的態射。有理映射及由此引生的雙有理等價是古典代數幾何學的主要對象。 定義 固定概形 V, W。考慮所有的資料 (U,f)，其中 U \subset V 是稠密開集，而 f: U \to W 是態射；這些資料代表了 U 上「部份定義」的態射，U 代表 f 的定義域。定義下述等價關係： : (U,f) \sim (U', g) \iff f|_{U \cap U'} = g|_{U \cap U…
拉開
在數學中，拉開（法文：éclatement，英文：blowing up）、單項變換或σ-過程是一種幾何的操作，代數幾何中的應用尤重。拉開是雙有理幾何的基本工具。對代數簇或複流形 M 上一點 Z 的拉開是將該點換為該點法叢的射影叢，或者具體地說是換為該點切空間的射影空間，從而得到拉開態射 \mathrm{Bl}_Z: \tilde{M} \rightarrow M，這是一個雙有理等價。對較高維子流形也能定義拉開。 當代代數幾何學將拉開視為…
奇點解消
在代數幾何學中，奇點解消問題探討代數簇是否有非奇異的模型（即：與之雙有理等價的非奇異代數簇）。在特徵為零的域上，廣中平祐已給出肯定答案，至於正特徵的域，四維以上的情形至今（2007年）未解。 定義 對於一個域 k 上的代數簇 X，若能找到一個完備非奇異代數簇與之雙有理等價（換言之：有相同的函數域），則稱 X 有弱奇點解消。在實踐上常會要求更容易運用的條件：若存在非奇異代數簇 X' 及真雙有理態射 X' \to X，使之在 X 的奇點集 …
代數曲線
在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面\mathbb{P}^2上由一個齊次多項式f(X,Y)定義的零點。 仿射曲線 定義在域F上的仿射代數曲線可以看作是F^n中由若干個n-元多項式g_i \in F[x_1, \ldots, x_n]定義的公共零點，使得其维数為一。 利用結式，我們可以將變數消至兩個，並化約到與之雙有理等價的平面代數曲線f(x,y)=0，其中f \in F[x,y]，因此在探討曲線的雙有理幾何時…
德林費爾德模
在數學領域，德林費爾德模或橢圓模是一種特別的模，佈於有限域上的代數曲線的坐標環上。粗略地說，德林費爾德模是複橢圓曲線的複乘法理論之函數域版本。 俄文單詞 штука（英語拼音：shtuka 或 chtouca，源於德文的 Stück，意指物件或東西），又稱F-層，是德林費爾德模的一種延伸，由曲線上的向量叢和其它關乎弗羅貝尼烏斯映射的資料組成。 弗拉基米爾·德林費爾德在1973年發明了德林費爾德模，隨後推廣到 штука，以證明函數域上的…
雙有理幾何
与实直线双有理等价。图中展示了其中一种双有理映射，球极平面投影。]] 在代數幾何中，雙有理幾何（）處理的是代數簇在雙有理等價之下不變的性質，也就是由其函數域決定的性質。這些性質包括維度、算術虧格、幾何虧格、小平維度等等。 曲線的情況 任何曲線都雙有理等價於一條平滑射影曲線。平滑射影曲線之間的有理映射能延拓為態射，雙有理等價對應到同構；因此曲線的雙有理幾何無非是射影曲線的同構及其不變量問題。 高維情況 在零特徵域上，義大利學派在1890-…
概形論術語
這是概形論術語。欲知代數幾何中概形的簡介，請見條目仿射概形、射影空間、層及概形。本條目旨在列出概形論中的基本技術定義與性質。 點 一個概形 S 是一個局部賦環空間，故也是拓撲空間，但「S 的點」具有三重涵義： 拓撲空間意義下的點。 T-值點：對任一概形 T，一個 T-值點是指一個態射 T \to S。 幾何點：當 S 定義在一個域 K 上時（換言之 S 是 \mathrm{Spec}(K)-概形），一個幾何點乃是一個 \mathrm{S…
代數幾何討論班
瑪麗樹林代數幾何討論班（，簡稱SGA）是20世紀60年代格羅滕迪克等人在法國高等科學研究所指導的一系列討論班。討論班的報告後來陸續出版，成為現代代數幾何的基本參考文獻。部分内容原計劃以更為詳細完整的形式寫進《代數幾何基礎》，但沒有實現。 討論班的具體情況如下。除SGA 2由北荷蘭出版公司出版以外，其他各卷都屬於施普林格出版社的Lecture Notes in Mathematics系列。 法國數學會正在進行LaTeX排版和再版。
志村簇
在數學中的代數幾何與數論領域，志村簇是一類特殊的代數簇，可視之為模曲線在高維度的類推。粗略地說，志村簇乃是埃爾米特對稱空間對某個代數群之同餘子群的商；最簡單的例子是上半平面對 \mathrm{SL}_2(\Z) 的商。一維的志村簇有時也被稱為志村曲線。 志村五郎在1960年代研究了上述商空間的緊化，其目的在推廣複乘法理論及互逆律；在此需要的基本結果是 Baily-Borel 定理（1966）。此後，人們也發現志村簇是某類霍奇結構的模空間…
代數群
在代數幾何中，一個代數群（或群簇）是一個擁有群結構的代數簇，其簇之乘與逆由正則函數提供。以範疇論描述，一個代數群是一個於代數簇範疇 (數學)中的群對象。 在數學中，域k上的代數群有幾種等價的描述： 光滑k-代數簇範疇中的群對象。 \mathrm{Spec}(k)上的分離、有限型群概形。 一個k-代數簇G配上e: \mathrm{Spec}(k) \to G（單位元）、m: G \times G \to G（群的二元運算）及i: G \t…
克鲁尔维数
在交換代數中，一個環的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大長度。此概念依數學家 Wolfgang Krull（1899年-1971年）命名。 定義 設交換環 R 中有 n+1 個素理想 P_0, \ldots, P_n，使得 : P_0\subsetneq P_1\subsetneq \ldots \subsetneq P_n 則稱之為長度為 n 的素理想鏈，一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的。R 的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大可能長度…
環的譜
在抽象代數學，交換代數和代數幾何學中，一個交換環A的譜是指其素理想全體形成的集合，記作\mathrm{Spec}(A)。它被賦予扎里斯基拓撲和結構層，從而成爲局部賦環空間。 一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜，即稱爲仿射概形。 扎里斯基拓撲 對於交換環 A 裡的任一理想 \mathfrak{a}，置 V(\mathfrak{a}) := \{ \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A) : \mathfrak{…
科恩-麥考利環
在交換代數中，Cohen-Macaulay環是對應到一類代數幾何性質（例如局部等維性）的交換環。 此概念依數學家弗朗西斯·索尔比·麦考利（）與欧文·索尔·科恩（） 命名，麦考利（1916年）證明了多項式環的純粹性定理，科恩（1946年）則證明了冪級數環的情形；事實上所有Cohen-Macaulay環都具純粹性。 形式定義 若交換局部環 (R,\mathfrak{m}) 滿足 \mathrm{depth}_\mathfrak{m}(R) …
熱帶幾何
熱帶幾何是數學的一支，首先由巴西數學家兼計算機科學家伊姆雷·西蒙於1980年代發展；「熱帶」一詞源於部份法國數學家對巴西的刻板印象。大略言之，熱帶幾何可謂是分片線性化的代數幾何。它在計數代數幾何中有重要的應用。 基本定義 定義熱帶半環（又稱極小-加法代數，見下述定義）為 (\mathbf{R} \cup \{\infty\}, \oplus, \otimes)，其運算為： : x \oplus y = \min\{\, x, y \,\…