模空间
在代数几何上，模问题用于描述代数簇所依赖的参数。对于这样一个参数使用模这一词和模形式相似：一个模形式通常是模空间（Moduli space，即其坐标为模的空间）上的某种微分形式（或者张量密度），因为这些形式通常有一个權重。 在椭圆曲线的情况，有一个模，所以模空间是代数曲线。这是在雅可比的椭圆函数理论中称为k的一个量，他将椭圆积分归约为如下形式 :\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)\,}. 参看 面向物理的模空间的表述，参看。
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共 41 篇文章
永田環
在交換代數中，可以根據整閉包的有限性將整環分成數類。以下均假設 A 為一整環。 A 被稱作 N-1 環，若且唯若其在分式域 K 中的整閉包是有限 A-模。 A 被稱作 N-2 環（或日本環，以紀念日本學派在此領域之貢獻），若且唯若對任何有限擴張 L/K， A 在 L 中的整閉包是有限 A-模。 A 被稱作泛日本環，若且唯若 A 上任何有限生成的整環都是日本環。 一個泛日本環 A 被稱作永田環（或擬幾何環），若且唯若 A 也是諾特環。 註…
函數域
在代數幾何中，一個整概形 X 的函數域 K_X 由 X 上的有理函數組成；對於一般的概形，相應的對象是有理函數層。雙有理幾何研究的便是由 K_X 所決定的幾何性質。 整概形的情形 定義 若 X 是仿射整概形，U \subset X 為開集，則定義 K_X(U) 為 \mathcal{O}_X(U) 的分式域。此時 K_X 是 \mathcal{O}_X(X) 的分式域的常數層。 若 X 是整概形，而非仿射概形，則任何非空仿射開集都稠密。…
平坦模
在抽象代數中，一個環 R 上的平坦模是一個 R-模 M，使得函子 - \otimes_R M 保持序列的正合性；若此函子還是忠實函子，則稱之為忠實平坦模 域上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部諾特環上的有限生成模，平坦性、射影性與自由性三者等價。 自塞爾的論文《代數幾何與微分幾何》以降，平坦性便在同調代數與代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深，詳見條目平坦態射。 交換環的情形 當 R 為交換環，一個 …
希爾伯特第十四問題
希爾伯特第十四問題是希爾伯特的23個問題之一。它探討某些有理函數域中的子環的有限性問題。令k為一個域，k \subset K \subset k(X_1,\ldots,X_n)。令 R := k[X_1,\ldots,X_n] \cap K，希爾伯特猜想R是有限生成的k-代數。 歷史 此問題源自不變量理論。具體而言，假設群G作用於n維仿射空間\mathbb{A}^n_k，或者等價地說，作用於多項式環k[X_1, \ldots, X_n]…
局部環
在數學中，局部環是只有一個極大理想的交換環。 局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入，稱之為 Stellenringe，英譯 local ring 源自扎裡斯基。 定義 設 R 為交換含-{zh-hans:幺;zh-hk:幺;zh-tw:幺;}-環。若 R 僅有一個極大理想 \mathfrak{m}，則稱 R（或 (R,\mathfrak{m})）為局部環。域 R/\mathfrak{m} 稱為 R 的剩餘域。 …
餘維數
數學中，餘維數（codimension）是一個基礎幾何學概念，使用在向量空間中的子空間上，且更廣義地，使用在流形中的子流形上，以及代數簇適當的子集合上。 若 W 是一向量空間 V 的一個線性子空間，則 W 在 V 的 餘維數是商空間 V/W 的維數。若V是有限維的，則 :\operatorname{codim}(W) = \dim(V/W) = \dim(V) - \dim(W). 另外，有限维空间通常在拓扑向量空间的研究中是有用的。 …
代數幾何與解析幾何
在數學中，代數幾何與解析幾何是兩個關係密切的學科。代數幾何研究代數簇，在複數域上，同時也能以複分析及微分幾何的技術研究代數簇。讓-皮埃爾·塞爾在1956年的同名論文中比較了這兩種觀點。在 SGA 第一冊附錄中，則以概形論的語言重新表述。 性質的比較 給定一個 \mathbb{C} 上的局部有限型概形 X，可以考慮相應的複解析空間 X^\mathrm{an}。此對應 X \mapsto X^\mathrm{an} 定義一個從局部有限型概形…
解析空間
在數學中，解析空間是一類局部上由解析函數定義的局部賦環空間，可理解為解析版本的概形。 定義 固定一個完備域 (F, |\cdot|)（通常取 \mathbb{R} 或 \mathbb{C}）。 令 U = \{(x_1, \cdots, x_n) : \forall i \; |x_i| ，其中 n \in \mathbb{N}，令 \mathcal{O}_U 為 U 上的解析函數層。設 f_1, \ldots, f_m 為解析函數，我…
K3曲面
在數學領域的代數幾何及複流形理論中，K3曲面是一類重要的緊複曲面，在此「曲面」係指複二維，視作實流形則為四維。 K3曲面與二維複環面構成二維的卡拉比-丘流形。複幾何所探討的K3曲面通常不是代數曲面；然而這類曲面首先出現於代數幾何，並以恩斯特·庫默爾、埃里希·卡萊爾與小平邦彥三位姓氏縮寫為 K 的代數幾何學家命名，也與1950年代被命名的K2峰相映成趣。 定義 在不同的脈絡下，K3曲面的定義略有不同。 在複幾何中，K3曲面是具有平凡典範叢…
分離態射
在數學中，分離態射是概形間一類具良好幾何性質的態射，由此可定義分離概形。在亞歷山大·格羅滕迪克的著作中，原將一般的概形稱作預概形（préschéma），而將分離概形稱作概形；1967年左右改稱現名。 定義 設X, S為概形。一個態射f: X \rightarrow S被稱作分離態射，若且唯若它所給出的對角映射\Delta: X \rightarrow X \times_S X是閉浸入。 由此可定義S上的分離概形。若取S為終對象\math…
優環
在交換代數中，尤其在代數幾何的應用中，優環（法文：anneau excellent、英文：excellent ring）是一類性質與完備局部環相近的交換諾特環。這類環首先由亞歷山大·格羅滕迪克定義。 代數幾何與數論中出現的諾特環通常都是優環，此外優環也與奇點消解相關；廣中平祐在1964年證明了特徵為零時的奇點消解定理。 定義 以下所論之環皆假定為么交換環。 一個包含域 k 的環 R 被稱作在 k 上是幾何正則的，若且唯若對任何有限擴張 …
準素分解
在交換代數中，準素分解將一個交換環的理想（或模的子模）唯一地表成準素理想（或準素子模）之交。這是算術基本定理的推廣，能用以處理代數幾何中的情況。 陳述 設 R 為交換諾特環，M 為有限生成之 R-模。對任一子模 N \subset M，存在有限多個準素子模 M_i 使得 : N = \bigcap_i M_i 事實上，可以要求此分解是最小的（即：無法省去任何 M_i），且諸準素子模 M_i 對應到的素理想彼此相異。滿足上述條件的準素分解…
群概形
定義 在代數幾何中，一個概形S上的群概形G是範疇\mathrm{Sch}_S中的群對象。藉由米田信夫引理，我們可以給出兩種刻劃： 以乘法、單位元與逆元定義：存在\mathrm{Sch}_S中的態射 乘法：m: G \times_S G \rightarrow G 單位元：e: S \rightarrow G 逆元：i: G \rightarrow G 並滿足結合律等等群的性質。 以函子性定義：點函子h_G: \mathrm{Sch}_S…
方向餘弦
在解析幾何裏，一個向量的三個方向餘弦分別是這向量與三個坐標軸之間的角度的餘弦。 假設 \mathbf {v}\, 是三維空間裏的向量： :\mathbf {v}= v_1 \boldsymbol{\hat{x}} + v_2 \boldsymbol{\hat{y}} + v_3 \boldsymbol{\hat{z}}\, ； 其中，\boldsymbol{\hat{x}}\, 、\boldsymbol{\hat{y}}\, 、\bol…
希爾伯特第十五問題
希爾伯特第十五問題是希爾伯特的23個問題之一。希爾伯特要求對德國數學家赫曼·舒伯特（）的列舉算術賦予嚴格基礎。 問題 這個問題可以分成兩部份。第一部份是舒伯特算術，第二部份是列舉幾何。前者已經藉由格拉斯曼簇的拓撲構造與相交理論闡明。後者關係到舒伯特的「數量守恆原理」，這涉及某些相交數在連續變形下的不變性。此原理出現在許多代數幾何的計數問題上，例如：給定空間中四個二次曲面，如何證明恰有666841048個二次曲面與之相切？ 雖然相交理論已…
賦環空間
賦環空間 （ringed space） 在數學上係指一個拓撲空間配上一個交換環層，其中特別重要的一類是局部賦環空間。此概念在現代的代數幾何學佔重要角色。 定義 一個賦環空間是一組資料(X, \mathcal{O}_X)，其中X為一拓撲空間而\mathcal{O}_X是其上的交換環層。 若\mathcal{O}_X在每一點的莖都是局部環，則稱之局部賦環空間。 全體賦環空間構成一個範疇，(X, \mathcal{O}_X)到(Y, \mat…
有理簇
在數學中的代數幾何領域，域 K 上的有理簇是一個雙有理等價於射影空間 \mathbb{P}_K^n（n \in \N）的代數簇。有理性僅依賴於其函數域，更明確地說，代數簇 X 是有理簇若且唯若 K(X) \simeq K(T_1, \ldots, T_n) \;(n \in \N)，其中 T_1, \ldots, T_n 是獨立的變元。 古典結果 Lüroth 定理是關於有理簇的基本結論，它斷言：對於有理函數域 K(T) 的子域 L，若…
局部系統
在數學中，局部系統或稱局部係數是源於代數拓撲的一種觀念，它是常係數的同調或上同調理論的推廣。這個觀念也能應用於代數幾何 。 用層論的語言來講，局部系統是局部上同構於常數層的阿貝爾群層。若此層整體來看也同構於常數層，則就回到了傳統的常係數層上同調理論。例子包括了帶有平坦聯絡的向量叢，基本群的線性表示則給出了局部同構於向量空間常數層的局部系統。
鏈環
在交換代數中，一個交換環 R 被稱作鏈環，若且唯若對任何一對素理想 : \mathfrak{p} \subset \mathfrak{q} 任何嚴格遞增的素理想鏈 : \mathfrak{p} = \mathfrak{p}_0 \subset \mathfrak{p}_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{p}_n = \mathfrak{q} 皆包含於一個從 \mathfrak{p} 到 \mathfr…