希爾伯特第十四問題是希爾伯特的23個問題之一。它探討某些有理函數域中的子環的有限性問題。令k為一個域，k \subset K \subset k(X_1,\ldots,X_n)。令 R := k[X_1,\ldots,X_n] \cap K，希爾伯特猜想R是有限生成的k-代數。
歷史
此問題源自不變量理論。具體而言，假設群G作用於n維仿射空間\mathbb{A}^n_k，或者等價地說，作用於多項式環k[X_1, \ldots, X_n]。為了研究商空間\mathbb{A}^n_k/G，必須考慮：
R := k[X_1, \ldots X_n]^G = \{f \in k[X_1, \ldots X_n] : \forall g \in G, g \cdot f = f \}
希爾伯特本人證明了G是某些半單李群的情形，包括GL_n。美國猶太人數學家奧斯卡·扎-{里}-斯基（Oscar Zariski）在1954年證明了n=1,2的情形。對於一般的狀況，日本數學家永田雅宜（）藉著考慮某些線性代數群的作用而在1959年造出反例。
基於美國數學家蒙福德（David Bryant Mumford）提出的假設，可以推出：若k是代數封閉域，且G是定義在k上的可約群，則R是有限生成的。此假設已在1975年由美國數學家威廉·哈伯什（William J. Haboush）證明，並由印度數學家C. S. 瑟哈里（C. S. Seshadri）推廣。
參考文獻
- W.J. Haboush, Reductive groups are geometrically reductive Ann. of Math. , 102 (1975) pp. 67–83
- D. Mumford, Geometric invariant theory（1965）, Springer ISBN 3-54-056963-4
- D. Mumford, Hilbert's fourteenth problem - the finite generation of subrings such as rings of invariants F.E. Browder（ed.）, Mathematical developments arising from Hilbert problems , Proc. Symp. Pure Math. , 28 , Amer. Math. Soc.（1976） pp. 431–444
- C.S. Seshadri, Geometric reductivity over arbitrary base Adv. Math. , 26 (1977) pp. 225–274
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