希爾伯特第十六問題
希爾伯特第十六問題，是希爾伯特的23個問題之一。它分成兩個部份： 實代數曲線與曲面的拓撲結構 哈纳克在1876年證明了一個平面上n次實代數曲線最多有\frac{n^2-3n+4}{2}個分支。希爾伯特提議研究這些分支之間的拓撲性質，並將哈纳克的估計推廣到空間裡的實代數曲面。 極限環的拓撲結構 給定二元n次實多項式P(x,y)和Q(x,y)，考慮下述平面上的動力系統： \begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}x}{\…
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希爾伯特第六問題
希爾伯特第六問題（）即公理化物理（），是希爾伯特的23個問題之一。雖然物理學並非數學，但是兩者之間的關係密切，許多物理學上的概念可藉由數學來明確化，而數學上有一些東西的靈感也是來自於物理學的研究，微積分就是最著名的例子，因此德國數學家大衛·希爾伯特認為能使用數學上公理化的概念來將物理學給「公理化」，而後來也確實有人進行這項工作，並且也獲得了成功，凡舉古典力學、機率論、熱力學、狹義相對論乃至於量子力學都有人進行公理化的工作。 敘述 這問題…
希尔伯特的23个问题
]] 希尔伯特问题（）是德國數學家大衛·希爾伯特於1900年在巴黎舉行的第二届国际数学家大会上所作题为《数学问题》的演讲中提出的23个最重要的数学问题。 希尔伯特问题对20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家的努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决或部分解决。 希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑的发展将对数学产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了…
希爾伯特第十八問題
希爾伯特第十八問題，是希爾伯特的23個問題之一，一些關於n維歐氏幾何空間的問題，主要有三個部份： n維歐氏幾何空間是否只允許有限多種兩兩不等價的空間群？─已由路德维希·比勃巴赫解決 是否存在一個能填滿整個空間的多面體，但其本身並非某個群的基本域（即不規則多面體能否填滿空間）？─已解決 在n維歐氏幾何空間中最佳的裝球模式（使空隙最小）？─未解決，克卜勒猜想與此相關 三維空間裝球的問題已解決，但n維裝球問題至今未解決。 在24維空間中，存在…
连续统假设
連續統假設（，簡稱CH）是数学中一個猜想，也是希尔伯特的23个问题的第一題，由格奥尔格·康托尔提出，關於無窮集的可能大小。其為： 康托爾引入了基數的概念以比較無窮集間的大小，也證明了整數集的基數絕對小於實集的基數。康托爾也就給出了連續統假設，就是说，在无限集中，比自然数集\N=\{0,1,2,3,4,...\}基数大的集合中，基数最小的集合是实数集。而連續統就是實數集的一個舊稱。 更加形式地说，自然数集的基数为\aleph_0（讀作「阿…
克卜勒猜想
堆積法]] 克卜勒猜想（）是以十七世紀德國天文學家约翰内斯·开普勒為名的一個數學猜想。此猜想是關於在三維歐幾里德空間中最佳的裝球方式（即留下的空隙最小的裝球方式）的。此猜想認為在每個球大小相同的狀況下，沒有任何裝球方式的「密度」大于面心立方與六方最密堆積的「密度」，即 \pi/\sqrt{18} ≈74.048%。 在1998年，托马斯·黑尔斯藉由費耶斯‧托特（）所提出的方式，提出了一個關於此猜想的證明。黑爾斯利用窮舉法的方式證明此猜想…
希爾伯特第七問題
希爾伯特第七問題是希爾伯特的23個問題之一，此問題涉及無理數及超越數。 命題敘述 給定以下兩個等價敘述： #在等腰三角形中，若底角和頂角的比值為無理數的代数数，則底邊和側邊長度的比值是否恆為超越數？ 若b是无理数且为代数数、a是非0,1的代数数，那么a^b（例如2^{\sqrt{2}}、e^{\pi}=i^{-2 i}）是否恆為超越数？ 問題的解決 第二個問題已于1934年由蘇聯數學家證明，德國數學家西奧多·施耐德也在1935年獨立證明…
希尔伯特第二十问题
希尔伯特第二十问题，是数学家大卫·希尔伯特在1900年国际数学家大会上提出的23个问题中的第20题。 问题是问，是否所有的边值问题都有解（即，是否有确定边界条件的变分问题都有解）。对于这一问题的研究在20世纪取得了迅速地进展，也推动了椭圆型微分方程理论的发展。 参考
希尔伯特计划
希爾伯特計劃（）是由德國數學家大卫·希尔伯特在1920年代提出的一個數學計畫，旨在为数学基础危机提供解决方案。当时，早期澄清数学基础的尝试被发现存在悖论和不一致之处。作为解决方案，希尔伯特主张将所有现有理论建立在一个有限且的公理集之上，并证明这些公理具有一致性。他提出，像实分析这样的更复杂系统的一致性，可以通过更简单的系统来证明。最终，整个数学的一致性可以归结为基本算术的一致性。 1931年发表的哥德爾不完備定理指出，希爾伯特計劃在数学…
希爾伯特第十問題
希爾伯特的第十個問題，就是不定方程（又稱為丟番圖方程）的可解答性。這是希爾伯特於1900年在巴黎的國際數學家大會演說中，所提出的23個重要數學問題的第十題。 這個問題是問，對於任意多個未知數的整係數不定方程，要求給出一個可行的方法（），使得借助於它，通過有限次運算，可以判定該方程有無整數解。 這裡德文的方法（），就是英文所謂的演算法（）。對於演算法的概念我們是不陌生的，例如遠在古希臘時代，人們就知道可以使用輾轉相除法，求兩個自然數的最大…
希爾伯特第四問題
希爾伯特第四問題為大卫·希尔伯特于1900年提出的一则几何学基本问题，為23個問題之一，主旨是建立所有度量空間使得所有線段為測地線。由於希爾伯特對於這個問題的定義過於含糊，所以此問題未能有一確實定義性的解答。 參見 希爾伯特的23個問題 大卫·希尔伯特 度量空間 測地線 喬治·哈梅爾 參考文獻 Болибрух А. А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя). — МЦНМО, 1999. — Т. …
希爾伯特第九問題
希爾伯特第九問題是希爾伯特的23個問題的一個問題，要在一般代数数域中找到可以對應k階範式剩餘的互反律，其中k為質數，而範式剩餘是利用希爾伯特符號計算。 進展 在此問題的求解上，已有一些進展，但還沒完全解決。奧地利數學家埃米爾·阿廷（1924; 1927; 1930）發現了處理代数数域下的。赫爾穆特·哈斯不但發現了更一般性的哈塞互反律，他和高木貞治的貢獻也帶動了類域論的發展，用抽象的方式來處理希爾伯特符號。後來（1948; 1949; 1…
希爾伯特第二十三問題
希爾伯特第二十三問題是希爾伯特的23個問題中的最後一個，是有關變分法的長遠發展。此問題中沒有出現待解或待證明的問題，與其他問題中有明確問題的情形不同。此問題是一個開放性問題，因此不能說有已經解決或尚未解決的狀況。 變分法 變分法是数学分析裡的一個領域，是在求泛函（函数到实数的映射）的極大值或極小值。泛函常以函數以及其导数的積分形式出現。所關注的是讓泛函出現極值（極大值或極小值）的函數。 進展 在此問題提出之後，大卫·希尔伯特、埃米·诺特…
希爾伯特第十九問題
希爾伯特第十九問題，是希爾伯特的23個問題之一，有關於變分法的問題，尤其是有關於位勢方程正則性的問題 位勢方程：\frac{\partial ^2U}{\partial X ^2}+\frac{\partial ^2U}{\partial Y ^2}=0 希爾伯特注意到了這個偏微分方程具有某種正則性(regularity)，除此之外，還有一些偏微分方程也有這類的特性，他稱這些具有此特性的方程式為拉格朗日方程，他認為這些方程式的解是可解析…
希爾伯特第十三問題
希爾伯特第十三問題，是希尔伯特的23个问题之一。德國數學家希爾伯特希望數學界能夠證明：f^7+xf^3+yf^2+zf+1=0\,這個方程式的七個解，若表成係數為x,y,z\,的函數，則此函數無法簡化成兩個變數的函數。 1957年，蘇聯數學家安德雷·柯爾莫哥洛夫（）的學生、當時19歲的弗拉基米爾·阿諾爾德（）解決了這個問題。柯爾莫哥洛夫證明每個有多個變元的函數可用有限個三變元函數構作。阿諾爾德按這個結果研究，證明兩個變元已足夠。之後阿諾…
希尔伯特第五问题
希尔伯特第五问题，即是否所有连续群都是可微群的问题。它由德国著名数学家大卫·希尔伯特在1900年的国际数学家大会提出，是当时他提出的23个问题之一。1953年日本数学家山边英彦（）证明了这个问题的答案是肯定的。
希爾伯特第二問題
希爾伯特第二問題，是希爾伯特的23個問題之一，即關於一個公理系統相容性的問題，也就是判定一個公理系統內的所命題是彼此相容無矛盾的，希爾伯特希望能以嚴謹的方式來證明任意公理系統內命題的相容性。 奧地利數學家库尔特·哥德尔（）在1930年證明了哥德尔不完备定理（），粉碎了希爾伯特的夢想。 參見 希尔伯特计划 哥德尔不完备定理
希爾伯特第十四問題
希爾伯特第十四問題是希爾伯特的23個問題之一。它探討某些有理函數域中的子環的有限性問題。令k為一個域，k \subset K \subset k(X_1,\ldots,X_n)。令 R := k[X_1,\ldots,X_n] \cap K，希爾伯特猜想R是有限生成的k-代數。 歷史 此問題源自不變量理論。具體而言，假設群G作用於n維仿射空間\mathbb{A}^n_k，或者等價地說，作用於多項式環k[X_1, \ldots, X_n]…
希爾伯特第二十二問題
希爾伯特第二十二問題是希爾伯特的23個問題之一，關於以自守函數一致化可解析關係。這問題已在1907年由德國數學家解決。黎曼曲面理論和這問題有一定關係。 參見 大衛·希爾伯特 曲面理論 自守函數 參考資料 *
希爾伯特第八問題
希爾伯特第八問題是希尔伯特的23个问题之一，它包含了幾個數論上懸而未決的問題，這些問題看似簡單，但事實上若要證明是非常困難的。 內容 希爾伯特第八問題包含了以下幾個問題： 黎曼猜想： {{quote| 黎曼ζ函數， \zeta (s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots 。非平凡零點（在此情況下是指s不為-2、-4、-6‧‧‧等…