最佳化問題
数学、工程学、计算机科学和经济学領域中，最佳化问题-{zh-cn:，或称优化问题;zh-tw:;}-（）是指从所有中找到最优良的解的问题。 根据变量是连续的或离散的，可将最佳化问题分为两类： 具有离散变量的最佳化问题称为离散优化，其中必须找到可数集合中的整数、排列或图等对象。 具有连续变量的最佳化问题称为连续优化，其中必须找到连续函数的最优值。它们可以包括约束问题和多模态问题。 搜索空间 在优化问题中，搜索空间是指所有满足问题约束条件…
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共 13 篇文章
不可判定问题
不可判定问题是可计算性理论和计算复杂性理论中定义的一类决定性问题，此类问题无法总是用单一算法得出正确的是/否的答案。停机问题是这类问题的一个代表：对于停机问题，没有算法能够正确判定任意程序是否会终止运行。 背景 决定性问题是一类根据从一个无限集合中选取的输入值，得出是或否的回答的问题。因此，根据传统定义，寻求答案为是的输入值之集合的问题，与决定性问题等价。 与哥德尔不完备定理的关系 不可判定问题举例 参考资料
构造性证明
构造性证明（）是数学证明方法的一种，通过直接或间接构造出具有命题所要求的性质的实例来完成证明。与构造性证明相对的概念是非构造性证明。后者只证明满足命题要求的物体存在，而不提供具体的实例或构造这样的实例的方法。 构造性证明也可以指数学构成主义中被认可的一种更强的证明。数学构成主义是数学哲学的一支，它认为要证明一个对象的存在，必须将其构造出来。因此，他们拒绝使用如排中律，无穷公理和选择公理这样的公理。同时也有一些用语和以往不同，例如或的语意…
依值类型
在计算机科学和逻辑中，依值类型（旧译依赖-{}-类型，dependent type）是指依赖于值的类型，其理论同时包含了数学基础中的类型论和计算机编程中用以减少程序错误的类型系统两方面。在 Per Martin-Löf 的直觉类型论中，依值类型可对应于谓词逻辑中的全称量词和存在量词；在依值类型函数式编程语言如、Agda、、、F和Idris中，依值类型系统通过极其丰富的类型表达能力使得程序规范得以借助类型的形式被检查，从而有效减少程序错误…
公理化集合论
在數學中，公理化集合论是集合論透過建立一階邏輯的嚴謹重整，以解決樸素集合論中出現的悖論。集合論的基礎主要由德國數學家格奧爾格·康托爾在19世紀末建立。 嚴謹集合論的源起 集合論的公理 集合論中其中一套由最後整理的公理系統，称為Zermelo-Fraenkel集合論（）。實際上，這個名稱通常不包括歷史上遠比今天具爭議性的選擇公理，當包括了選擇公理，這套系統被稱為。 外延公理：（）兩個集合 x, y 相同，若且唯若它們擁有相同的元素，即 x…
希尔伯特计划
希爾伯特計劃（）是由德國數學家大卫·希尔伯特在1920年代提出的一個數學計畫，旨在为数学基础危机提供解决方案。当时，早期澄清数学基础的尝试被发现存在悖论和不一致之处。作为解决方案，希尔伯特主张将所有现有理论建立在一个有限且的公理集之上，并证明这些公理具有一致性。他提出，像实分析这样的更复杂系统的一致性，可以通过更简单的系统来证明。最终，整个数学的一致性可以归结为基本算术的一致性。 1931年发表的哥德爾不完備定理指出，希爾伯特計劃在数学…
自然数的集合论定义
已经提出了多种使用集合论定义自然数的方式。 当代标准 在 ZFC 和有关理论中，自然数的集合论定义是约翰·冯·诺伊曼的序数定义: 定义空集为零。 定义 n 的后继为 n ∪ {n} 无穷公理接着确保所有自然数的集合 N 存在。容易证明上述定义满足皮亚诺算术公理。它也有一個特別的性質（在其他定義中不一定如此），就是每个自然数 n 都是恰好含 n 个元素的集合，即{0,1,2,...,n-1}。 最老的定义 弗雷格（和伯兰特·罗素独立的）提…
数学原理
[[Image:Principia Mathematica 54-43.png|thumb|right|500px|✸54.43: “从这个命题可推导出——假设算术加法已被定义——1 + 1 = 2。”卷I，第1版，[http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath&cc=umhistmath&idno=aat3201.0001.001&frm=frames…
同伦类型论
在数理逻辑与计算机科学中，同伦类型论（homotopy type theory，缩写 HoTT）是一套旨在于同伦论的大框架下构建内涵类型论语义的理论，尤指Quillen模型范畴和弱分解系统。反而言之，内涵类型论则为同伦理论提供了一套逻辑语言。类型论在绝大多数计算机证明辅助系统中被用作集合论的替代理论，因为集合论的语言难以转化成计算机证明辅助的形式语言。而英国哲学家和逻辑学家伯特兰·罗素则提出了类型论作为集合论的替代理论。 同伦理论在20…
印符数论
印符数论（，简称），是一种用来描述自然数的形式公理系统，由侯世达在《哥德尔、埃舍尔、巴赫》一书中提出。TNT是皮亚诺算术的一种实现，侯世达以此来解释哥德尔不完备定理。 如同其他实现皮亚诺公理的系统，TNT是自指的。 数字 TNT并没有对每一自然数指定不同的符号，而是使用一种统一的方式来表示所有自然数。其中符号S可理解为“后继”之意。 : 变元 为了表示不定项，TNT中使用了五个变元，分别为： :a, b, c, d, e 通过添加撇号可…
元数学
元数学（），又译为超数学，使用数学技术来研究数学本身的一门学科。一般来说，元数学是一种将数学作为人类意识和文化客体的科学思维或知识。更进一步来说，元数学是一种用来研究数学和数学哲学的数学。“数学的数学”是于19世纪初由通常的数学分离出来的，它最初研究的对象是在所谓的数学危机。将二者混为一谈会导致一些矛盾，典型例子有理查德悖论。 比如说，元数学的主题之一就是：分析某些数学要素是否在任意的数学系统中都是可证实或者证伪的。 许多关于数学基础与…
非构造性证明
非构造性证明是「表述存在性的命题或定理」的一种证明方式：证明的过程中，不举例而只证明语句是否正确。非构造性证明很多时候依赖于排中律。数学构成主义数学不允许非构造性证明。 例一 A、B两人进行这样一个数学游戏：在黑板上轮流写下1到2000中的任意一个整数（含边界，A先写），但不能写下任何黑板上已存在的数的因子。當一方不能寫出數字時該方則輸。问：谁有必胜策略？ 证明 :考虑一种新的游戏：A'、B'在黑板上轮流写下2到2000中的任意一个整数…
预期释义
在逻辑中，给定某个形式语言 L，可以有意图应用于 L 的原始符号的某个特权子集的一个释义。例如，一阶逻辑的一阶语言 L，它包含意图指示真值函数合取、析取、实质蕴涵、否定，全称量化运算，和某些其他(较少的)运算的符号。在皮亚诺算术的语言中，谓词符号 '