無效證明
在數學裡，有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的，其錯誤——通常是經過設計的——卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已，但可以被用来顯示嚴謹在數學中的重要性。 大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形。此一錯誤為採一非單射的函數f，以觀察對某些x和y，會有f(x)=f(y)，來（錯誤地）做出x=y的結論。零除數是此類錯誤的一特例；f為將x映射至x\times 0的函數，而其錯誤的一步是起於將x\times 0=y\t…
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共 11 篇文章
数学归纳法
数学归纳法（，縮寫：MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个或者局部自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。 虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非逻辑上不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事實上，所有數學證明都属于演繹推理方法。 定义 最简单和常见的数学归纳法是证明当…
證明22/7大於π
人們經常使用\frac{22}{7}這個有理數作為圓周率\pi的丢番圖逼近。在\pi的連分數表達中，\frac{22}{7}是它的一個渐近分數。從這兩個數字的小數形式可見\frac{22}{7}是大於\pi的： :\frac{22}{7} \approx 3.142857\dots\, :\pi \approx 3.141592\dots\, 這個近似值從古代就有人使用。縱使阿基米德並非這個近似值的始創者，但他證明了{22 \over …
數學證明
中有許多證明的技巧，圖中是Book II, Proposition 5.]] 在數學上，數學證明（mathematical proof）是在一個特定的公理系統中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推導出某些命題的過程。比起证据，数学证明一般依靠演绎推理，而不是依靠自然归纳和经验性的理据。這樣推導出來的命題也叫做該系統中的定理。 數學證明建立在逻辑之上，但通常會包含若干程度的自然語言，因此可能會產生一些含糊的部分。 實際上，用文字形式寫成…
超限归纳法
超限归纳法（）是数学归纳法向（大）良序集合比如基數或序数的集合的扩展。 超限归纳 假设只要对于所有的\beta，P(\beta)为真，则P(\alpha)也为真。那么超限归纳告诉我们P对于所有序数为真。 就是说，如果P(\alpha)为真只要P(\beta)对于所有\beta为真，则P(\alpha)对于所有\alpha为真。或者更实用的说：若要证明所有序数\alpha都符合性质P，你可以假定它对于所有更小的\beta已经是成立的。 通…
无穷递降法
无穷递降法，又名無窮遞減法（），是数学中证明方程无解的一种方法。 步骤 假设方程有解，并设X为最小的解。 从X推出一个更小的解Y。 从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。 一些實用的例子 a2+b2=3(s2+t2)無非平方解 证明下列方程无正整数解: :a^2+b^2=3 \cdot (s^2+t^2),\, 证明: 假设该方程有正整数解。 设a_1, b_1, s_1, t_1为最小的解。即 : a_1^2+b_1^2 = 3 \…
對角論證法
对角论证法是乔治·康托尔於1891年提出的用于说明实数集合是不可数集的证明。 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证明，而是发表在他第一个证明的三年后。他的第一个证明既未用到十进制展开也未用到任何其它數系。自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证明中都用到了类似的证明构造方法，它們一般亦稱為對角論證法。 实数 康托尔的证明表明区间[0, 1]不是可数无穷大。该证明是用反證法完成的，步骤如下： 假設区间[0, 1]是可數無窮大的，已…
非构造性证明
非构造性证明是「表述存在性的命题或定理」的一种证明方式：证明的过程中，不举例而只证明语句是否正确。非构造性证明很多时候依赖于排中律。数学构成主义数学不允许非构造性证明。 例一 A、B两人进行这样一个数学游戏：在黑板上轮流写下1到2000中的任意一个整数（含边界，A先写），但不能写下任何黑板上已存在的数的因子。當一方不能寫出數字時該方則輸。问：谁有必胜策略？ 证明 :考虑一种新的游戏：A'、B'在黑板上轮流写下2到2000中的任意一个整数…
结构归纳法
结构归纳法是应用在数理逻辑、计算机科学、图论和一些其他数学领域的证明方法（比如Łoś定理的证明），是一般化的数学归纳法 （数学归纳法仅仅定义在自然数上）。 其通常用来证明一些命题 P（x），x 是递归定义结构（例如树和表）的一种。良基偏序是定义在这种结构上的。结构归纳法的证明是由证明命题对于所有的极小结构成立，以及如果他在一个结构 S 的基础结构中成立，那么其一定也在整个 S 中成立这些组成。比如，如果一个结构是个这样一个表，含有偏序 …
素数的倒数之和
公元前3世纪，欧几里得证明了素数有无穷多个。公元十八世纪，欧拉证明了所有素数的倒数之和发散。这里给出一些证明。 证明一 : \ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) = \ln \left( \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_{p} \ln \left( \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_{p} - …
算兩次
在數學中，算兩次是一個常用的證明技巧，常在證明恆等式時被提到。其思想是，對一個具體的量用方法甲來計算，得到的答案是A，而用方法乙則得到B，那麼等式A = B成立。此思想雖然明顯，但在實際使用時由於方法甲與方法乙通常有明顯的差異，因此能把兩個表面上相去甚遠的式子聯繫起來。算兩次產生過很多漂亮的證明。 組合恆等式 组合數學中的算兩次是一种组合证明方法。我們可以對同一個組合計數問題從兩個不同的方面去觀察，從而得到兩個表達式，其值卻相同。例如以…