序类型
在数学中，特别是集合论中，序数可以用来标记(label)任何给定良序集合的元素(最小元素标记为 0，次小标记为 1，再次是 2，以此类推)，并通过未用来标记这个集合的元素的最小的序数来测量整个集合的“长度”。这个集合的“长度”叫做序类型。 序数表示良序集合的等价类，这里的等价关系是序同构。这样的序数是在等价类中任何集合的序类型。 更加形式的说，良序集合的序类型是唯一的序数，对于它有在序数和良序集合之间的一个序保持双射。 例如，考虑小于 …
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共 18 篇文章
序数
數學集合论中，序數（）是自然數的一種擴展，與基數相對，著重於次序的性質。大於有限數的序數也稱作超限序數。 超限序数是由數學家格奥尔格·康托尔于1897年引入，用來考慮無窮序列，並用來對具有序结构的無窮集進行分類。 序数对自然数的扩展 自然数可以用来做两件事：描述一个集合的大小，或者描述序列中一个元素的位置。在有限的世界里这两个概念是一致的，当处理无限集合时人们不得不区分这两者。從大小的概念可以引申出如康托尔描述的“基数”，而位置的概念則…
连续统假设
連續統假設（，簡稱CH）是数学中一個猜想，也是希尔伯特的23个问题的第一題，由格奥尔格·康托尔提出，關於無窮集的可能大小。其為： 康托爾引入了基數的概念以比較無窮集間的大小，也證明了整數集的基數絕對小於實集的基數。康托爾也就給出了連續統假設，就是说，在无限集中，比自然数集\N=\{0,1,2,3,4,...\}基数大的集合中，基数最小的集合是实数集。而連續統就是實數集的一個舊稱。 更加形式地说，自然数集的基数为\aleph_0（讀作「阿…
共尾性
在數學裡，尤其是在序理論裡，一个偏序集合 A 的共尾性 cf(A) 是指 A 的共尾子集的勢中的最小者。 共尾性的定義依賴於選擇公理，因为它利用了所有非空的基數集合都有一个最小成员的事实。偏序集合 A 的共尾性亦可定義成最小的序数 x，使得有着值域共尾于陪域的一个从 x 到 A 的函数。第二個定義不需要選擇公理也可以有意義。若假設有選擇公理（此條目接下來的部分亦將如此假設），這兩種定義將是等價的。 共尾性也可類似地被定義在有向集合上，并…
從零開始的編號
從0開始編號或索引開頭為0是一種編號方式，其指一个序列的初始元素的索引被指定为0，即序列的编号从0开始，而非从1开始。在從零開始的編號方式下，序列中初始的元素有時会被稱為第零元素（一般稱為第一元素）。 某些情況下，不屬於該序列但可以放置在其之前的元素被称为「第零元素」。使用0作為序數並未被廣泛接受，因為在缺乏上下文時，序列的所有後續元素會出现混淆。 儘管數學領域的編程語言通常從1開始編號，但從0開始編號的序列在數學符號中仍然是相當常見的…
閉無界集
數學中，尤其是數理邏輯和集合論中，閉無界集（）是极限序数的一類子集，其在該極限序數的序拓撲中為閉，且相對於該極限序數為無界（見嚴格定義）。 嚴格定義 嚴格而言，若\kappa為極限序數，則集合C\subseteq\kappa為閉當且僅當對每個\alpha，若\sup(C\cap \alpha)=\alpha\ne0，則\alpha\in C。因此，若C中，某序列的極限小於\kappa，則該極限也在C中。 若\kappa為極限序數，且C\…
超限归纳法
超限归纳法（）是数学归纳法向（大）良序集合比如基數或序数的集合的扩展。 超限归纳 假设只要对于所有的\beta，P(\beta)为真，则P(\alpha)也为真。那么超限归纳告诉我们P对于所有序数为真。 就是说，如果P(\alpha)为真只要P(\beta)对于所有\beta为真，则P(\alpha)对于所有\alpha为真。或者更实用的说：若要证明所有序数\alpha都符合性质P，你可以假定它对于所有更小的\beta已经是成立的。 通…
超限数
超限数是大于所有有限数（但不必為绝对无限）的基数或序数，分別叫做超穷基数（）和超穷序数（）。术语「超限」（transfinite）是康托尔提出的，他希望避免词语无限（infinite）和那些只不过不是有限（finite）的那些对象有关的某些暗含。當時其他的作者少有这些疑惑；现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语「超限」仍在使用。 超穷序数可以確定超穷基数，並導出阿列夫数序列。 对于有限数，有两种方式考虑超限数，作为基数和作…
布拉利-福尔蒂悖论
在集合論此一數學領域裡，布拉利-福爾蒂悖論斷言，樸素建構「所有序數的集合」會導致矛盾，因此每個允許此一構造的系統都會顯得自相矛盾。此一悖論是以切薩雷·布拉利-福爾蒂來命名的，他在1897年發現了此一悖論。 用冯·诺伊曼序数来陈述 由所有序數\Omega 所組成的集合帶有序數的所有性質，所以此集合自身也必須被視為是一個序數。接下來，我們可以建構出此序數的後繼序數\Omega + 1，後者會嚴格大於前者。不過，這個後繼序數也必然是\Omeg…
绝对无限
绝对无限是数学家康托尔的超越超限数的无限概念。康托尔把绝对无限等同于神。他坚持绝对无限有各种数学性质，包括绝对无限的所有性质也被某些更小的对象所持有。 康托尔的观点 引证康托尔所说: :实际无限在三个上下文中出现: 首先在它被认识于最完善的形式中，在完全独立的其他世界的存在中，“in Deo”的时候，这里我称呼它为绝对无限或简单的称为无限；其次在它偶然性的出现在 神造世界中的时候；第三在精神“在观念上”把它掌握为数学上的量、数或序类型的…
序拓撲
数学上，序拓撲是可以定義在任意全序集上的拓扑结构。 此為將实数的拓撲結構推廣到任意全序集上所得。 具有此種拓撲結構的拓撲空間稱為序空間。 如果 X 為全序集，則 X 的序拓扑由無界開區間 : (a,\infty )=\{x\mid a : (-\infty ,b)=\{x\mid x 組成的準基生成，其中 a,b 取遍 X 的所有元素。這等價於，開區间 : (a,b)=\{x\mid a 連同上述無界開區間組成序拓撲的一組基，換言之， …
良序关系
在数学中，集合S上的良序关系（或良序）需要满足：①是在S上的全序关系。②S的所有非空子集在这个次序下都存在最小元素。等价的说，良序是良基的线序。集合S和这个良序关系一起就叫做良序集合。 粗略的说，良序集合的排序方式，使得我們可以逐次考虑一个它的元素，而在还没有检視完所有的元素的任何时候，总是有一个唯一的下一个元素可考虑。 例子 自然数的标准排序≤是良序的。 整数的标准排序≤不是良序的，因为比如负整数的集合不包含最小元素。 整数的下列关系…
后继序数
定义序数时，後繼函數S是取得下一个序数的数學工具。如果使用冯·诺伊曼序数（用于集合论的标准序数）表示，对于任何一个序数我们可以得到： :S(\alpha) = \alpha \cup \{\alpha\} 因为在序数上的排序\alpha > \beta当且仅当\alpha \in \beta，立即得出没有序数在\alpha和S(\alpha)之间，而\alpha 也是明显的。是某个序数\beta的S(\beta)的序数叫做后继序数。不是…
首個不可數序數
在數學中，首個不可數序數，傳統記之為ω1（或有時為Ω），是衆多序數當中，視為集合時不可數的最小的一個。它是所有可數序數的最小上界。ω1 作為集合有不可數多個元素，但每個元素皆為可數序數。 與任何序數相像（冯·诺伊曼的方法），ω1是一個良序集合，以集合從屬性("∈")作為序的關係。ω1是一個极限序数，意即並不存在一個α使得α + 1 = ω1 拓撲空間 [0,ω1) 是序列緊，但不是緊的。於是，無法將之度量化。不過，其為，故不是林德勒夫空…
冯·诺伊曼基数指派
冯·诺伊曼基数指派是使用序数的基数指派。对于良序集合 U，我们定义它的基数为等势(equinumerous)于 U 的最小序数。更加精确的， :|U| = \mathrm{card}(U) = \inf \{ \alpha \in ON \ |\ \alpha =_c U \}， 當中： A \leq_c B \iff (\exists f) (f : A \to B\,是单射)\, A \leq_c B 和 B \leq_c A 都为…
极限序数
极限序数是非零非后继序数的序数。直觉的说，有不能通过后继运算 S 触及的序数。使用严格的术语，我们称 λ 是极限序数，当且仅当存在 α 2。重复这个过程如下可以生成： :\omega^3, \omega^4, \ldots, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \ldots, \epsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}, \ldots 一般的说，…
艾普塞朗數
艾普塞朗數ε乃是數學集合論中一系列的超限序數，其為指數映射的某些固定點。因此，它並不能透過較小序數有限次數的加法及乘法運算而獲得。康托爾原來引進的艾普塞朗數，乃以以下的方式定義:- ε乃是一個滿足以下式的序數，當中ω乃是最小的無限序數。 :\varepsilon = \omega^\varepsilon, \, 滿足上式的所有ε當中，最小的記為*ε0。它可以透過以下的超限遞歸法獲得:- :\varepsilon_0 = \omega^{…
序數算術
我們可在序數上定義-{若干}-算術運算，這是對自然數運算的推廣。 加法 給出序數 S 與 T，在 {(s,0):s ∈ S} ∪ {(t,1):t ∈ T} 定義以下的良序關係：(a,δ)0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 T 是指 {SR : R 0=1，S1=S，S2=S×S，S3=S×S×S，……。 第一個無限序數是 ω，第一個不能由 ω 有限引伸而成的序數是 ε0。對多數利用超窮歸納法的證明，ε0已經…