乌雷松度量化定理
乌雷松度量化定理（）给出了一个拓扑空间可度量化的充分条件。一个拓扑空间 (X,\tau) 上，若能定義一个度量 d\colon X \times X \to [0,\infty) 使得拓扑 \tau 由 d 诱导产生，就稱為可度量化。 内容 定理斷言如果一个拓扑空间X是正则的，且有一组可数基（即第二可數），那么X是可度量化的。 例如，由定理能推論出，每個第二可數的流形都可度量化。 歷史上，安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫在 1926 年證…
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离散空间
在拓扑学和相关数学领域中，离散空间（）指一种特别简单的拓扑空间或相似的结构，在其中点都在特定意义下是相互孤立的。 离散拓扑是可以在集合上给出的最精细的拓扑。离散拓扑中的每个子集都是开集，因此每个单子集也都是开集。 定义 给定集合X: 在X上的离散拓扑是通过X的所有子集是开集（因此也是闭集）而定义的。如果X配备了它的离散拓扑，则X组成了离散拓扑空间； 在X上的离散一致是通过令X × X中的对角集\{(x,x) : x \in X\}的所有…
仿紧空间
仿紧空间，数学中，仿紧空间是指一类拓扑空间，他们的每个开覆盖都有局部有限的（开）加细（精细化）。这类空间的概念于1944年由Dieudonné引入 。每个紧致空间都是仿紧的。每个仿紧的豪斯多夫空间都是正规的。一个豪斯多夫空间是仿紧的当且仅当其任意开覆盖都可以单位分解。仿紧空间有时也被要求为豪斯多夫的。 仿紧空间的任意闭子空间是仿紧的。豪斯多夫空间的紧子集是闭的，但是对仿紧子集不成立。如果一个空间的任意子空间都是仿紧的，则其称为hered…
區間
區間（）在數學上是指某個範圍的數的集合，或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合，一般以集合形式表示。 簡說 在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示排除，方括號表示包括。例如，開區間(10, 20)表示所有在10和20之間的實數，但不包括10或20。另一方面，閉區間[10, 20]表示所有在10和…
门格海绵
门格海绵（、）是分形的一种。它是一个通用曲线，因为它的拓扑维数为一，且任何其它曲线或图都与门格海绵的某个子集同胚。它有时称为门格-谢尔宾斯基海绵或谢尔宾斯基海绵。它是康托尔集和谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广。它首先由奥地利数学家卡爾·門格爾在1926年描述，当时他正在研究拓扑维数的概念。 结构 门格海绵的结构可以用以下方法形象化： 从一个正方体开始。（第一张图像） 把正方体的每一个面分成9个正方形。这将把正方体分成27个小正方体，像魔方…
拓扑空间
拓扑空间（）是一种賦予「一點附近」這個概念的抽象数学结构；拓扑空间也是一个集合，其元素称为点，由此可以定義出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。 定义动机 拓扑結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函數極限。 對於度量空间 (M,\,d) 內的任一點 x，可定義中心為 x，半徑為 r > 0 的開…
逐點收斂
[[File:Drini-nonuniformconvergence.png|thumb|函数序列 fn(x) = (sin x)ⁿ 在区间 [0, π] 上的逐点收敛。图中连续的绿色曲线序列逐点趋于不连续的红色极限函数（在 π/2 处值为 1，其余为 0）。这证明了逐点收敛不一定保持函数的连续性。]] 逐點收歛也稱點態收斂（，或称简单收敛），是數學中描述一組函数序列向一个函数趋近的一種方式（函數趨近極限有其他不同方式，個中差異請小心分…
CW复形
CW复形，又称胞腔复形，在拓扑学上屬於拓扑空间之一類，由J.H.C.怀特海德引入，用于同伦理论。其思想是构造一类空间，比单纯复形更为广泛（我们现在可以说，有更好的范畴论属性）；但还要保留组合的本质，因此计算方面的考虑没有被忽略。 形式表述 粗略地说，CW复形由称作胞腔的基本元件组成。其精确定义规定胞腔如何在拓扑意义上“粘合”。CW复形名称中的“C”代表“闭有限”（），而“W”则代表“弱拓扑”（）。 单个 n 维闭胞腔是指 n 维闭球在贴…
盒拓扑
在拓扑学中，拓扑空间的笛卡尔积上有數種不同可行的拓扑。其中一个較自然的選擇是盒拓扑（），其中基由组件空间中开集的笛卡尔积给出。 另一种選擇是乘积拓扑，其中基也由组件空间中开集的笛卡尔积给出，但其中只有有限個開集嚴格小於整个组件空间。 虽然盒拓扑的定義比乘积拓扑更直观，但它满足的性質较少。特别地，如果所有组件空间都是紧凑的，则它们的笛卡尔积上的盒拓扑不一定是紧凑的，而它们的笛卡尔积上的乘积拓扑始终是紧凑的。一般而言，盒拓扑比乘积拓扑更精细…
緊緻收斂
在數學上，緊緻收斂（）或是稱作緊緻集上的均勻收斂（）是一種由均勻收斂的想法上推廣之後的收斂性質。這種收斂性質與緊緻開拓樸有相關。 定義 讓(X, \mathcal{T})是一個拓樸空間而且(Y,d_{Y})是一個賦距空間。一個函數列 f_{n} : X \to Y, n \in \mathbb{N} 被稱作緊緻收斂到函數f : X \to Y 如果說對所有在X的緊緻集合K 有 f_{n}|_{K} \to f|_{K} 均勻收斂。這也代…
速降函数空间
速降函数空间（Schwartz space）是数学中一类函数的总称，也称为施瓦茨空间，指的是当 X 值趋向于无穷大时，函数值 f(X) 趋近0的速度“足够快”的函数。速降函数空间的一个重要性质是傅里叶变换对于这个空间是一个自同构，也就是说，速降函数进行傅里叶变换之后仍然会是速降函数。这个性质使得可以对 \mathcal{S} 的对偶空间中的元素，也就是缓增广义函数，来定义其傅里叶变换。速降函数空间的别称“施瓦茨空间”得名于法国数学家洛朗…
单纯复形
单纯复形（）是拓扑学中的概念，指由点、线段、三角形等单纯形“粘合”而得的拓扑对象。单纯复形不应当与范畴同伦论中的单纯集合混淆。 定义 单纯复形\mathcal{K}是由一组单纯形构成的集合，并且须要满足下列条件： #\mathcal{K}的每一个单纯形的面都是\mathcal{K}中的元素。 #\mathcal{K}中任何两个元素\sigma_1 , \sigma_2 \; \in \mathcal{K}的交集是它们公有的一个面。 需要…
离散两点空间
拓扑学中，离散两点空间（discrete two-point space）是最简单的完全不连通离散空间。点可以径直记作0和1。 性质 任何不连通空间都有到离散两点空间的非恒定连续映射。反之，若从拓扑空间到离散两点空间存在非恒定连续映射，则这个空间就是不连通的。 参考文献
欧几里得空间
欧几里得空间是在约公元前300年，由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理在幾何原本中都有所體現。 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n维欧几里得空间（甚至简称 n 维空间）或有限维实内积空间。 这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备）， 希尔伯特空间在高等代数教科…
康托尔集
在数学中，康托尔集（）由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。 康托尔集的构…
序拓撲
数学上，序拓撲是可以定義在任意全序集上的拓扑结构。 此為將实数的拓撲結構推廣到任意全序集上所得。 具有此種拓撲結構的拓撲空間稱為序空間。 如果 X 為全序集，則 X 的序拓扑由無界開區間 : (a,\infty )=\{x\mid a : (-\infty ,b)=\{x\mid x 組成的準基生成，其中 a,b 取遍 X 的所有元素。這等價於，開區间 : (a,b)=\{x\mid a 連同上述無界開區間組成序拓撲的一組基，換言之， …
拓扑学家正弦曲线
拓扑学中，拓扑学家正弦曲线或华沙正弦曲线是一个拓扑空间，具有一些有趣的特性，使其成为教科书中的一个重要例子。 它可以定义为函数sin(1/x)在半开区间(0, 1]上连通原点在欧氏平面拓扑下的函数图形： : T = \left\{ \left( x, \sin \tfrac{1}{x} \right ) : x \in (0,1] \right\} \cup \{(0,0)\}. 性质 拓扑学家正弦曲线T是连通的，但不是局部连通也不是路…
實數線
数学上，实数轴就是实数的集合 R。然而，这一术语通常在 R 被当作某种空间（诸如拓扑空间，向量空间）的时候使用。尽管至少早在古希腊时代，人们就开始研究实数线，但直到1872年，它才被严格地定义。而自始至终，它一直是在数学的许多分支中扮演重要角色的实例。 定义 实数线具有一个标准拓扑，它可以通过两种等价的方法引入。 第一，实数满足全序关系，它们具有序拓扑。 第二，实数能够通过绝对值 d(x,y) := |y - x| 的度量转换到度量空间…
图 (拓扑)
拓扑学中，图指拓扑空间，由通常的图G = (E, V)将顶点替换为点、将边e = xy \in E替换为单位区间I = [0,1]（当中0为与x相关的点，1为与y相关的点）。即，作为拓扑空间，图恰恰是1维单纯复形，也是1维CW复形。
康托尔空间
在数学中，以格奥尔格·康托尔命名的康托尔空间是对经典康托尔集的拓扑学抽象：即与康托尔集同胚的拓扑空间。在集合论中，拓扑空间2ω也就是康托尔空间。 例子 康托尔集自身就组成康托尔空间不过，康托尔空间的一般标准例子是可数无限多个离散两点空间{0, 1}的积，一般写作2^\mathbb{N}或2ω（其中2表示离散拓扑中的2-元素集合{0,1}）。2ω中的一个点是一个由0和1组成的无穷二进制序列，给定这样一个序列a0，a1，a2……，可以将其映…