在数学中，康托尔集（）由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。
康托尔集的构造
康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一的开集而得出。首先从区间\left[0,1\right]中去掉中间的三分之一\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)，留下两条线段：\left[0,\frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3},1\right]。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段：\left[0,\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{2}{9},\frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3},\frac{7}{9}\right] \cup \left[\frac{8}{9},1\right]。康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间[0,1]中的点组成。这个过程可以由递归的方法描述，首先令：
C_0:=[0, 1]
则第n步递归得到的结果：
C_n := \frac{C_{n-1}}{3}\cup\left(\frac{2}{3}+\frac{C_{n-1}}{3}\right)=\frac{1}{3}\left(C_{n-1 }\cup(2+C_{n-1})\right), 对于n\ge1
所以：
\mathcal{C} := \lim_{n\to\infty}C_n = \bigcap_{n=0}^\infty C_n = \bigcap_{n=m}^\infty C_n , 对于 m \ge 0.
下面的图显示了这个过程的最初六个步骤。
有些学术论文详细描述了康托尔集的明确公式。
参见
- 康托尔函数
*
- 谢尔宾斯基地毯
- 科赫雪花
- 门格海绵
- 以豪斯多夫维度排序的分形列表
註釋
參考文獻
- (See example 29).
- Gary L. Wise and Eric B. Hall, Counterexamples in Probability and Real Analysis. Oxford University Press, New York 1993. ISBN 0-19-507068-2. (See chapter 1).
- cut-the-knot上的[http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/Cantor2.shtml 康托尔集]
- cut-the-knot上的[http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cantor.shtml 康托尔集与函数]
外部連結
- [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/Cantor2.shtml Cantor Sets] and [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cantor.shtml Cantor Set and Function] at cut-the-knot
评论 (0)