去趨勢波動分析
在随机过程， 混沌理论和时间序列分析中， 去趋势波动分析（英文：Detrended Fluctuation Analysis, DFA）是一种判断信号的统计自相似性质的方法。 它可以用于分析类似长记忆过程的时间序列（以发散的相关时间为特征，例如幂率衰减的自相关函数）或1/f噪音。 所获得的指数类似于Hurst指数，但去趋势波动分析还可以应用于非平稳信号，即信号的统计量（例如平均值和方差）或动态是不固定的（随时间变化）。 它与基于谱分析的…
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豪斯多夫维数
豪斯多夫维数又称作豪斯多夫-贝塞科维奇维数（）或分形维数，它是由德國数学家费利克斯·豪斯多夫于1918年引入的。通过豪斯多夫维数可以定義任意度量空間的子集之維數，包括像是分形（）等复杂的集合。对于简单的几何形狀比如线、长方形、长方体等豪斯多夫维数等同于它们通常的几何维度或者说拓扑维度。通常来说一个物体的豪斯多夫维数不像拓扑维度一样总是一个自然数而可能会是一个非整的有理数或者无理数。 通俗的描述 从直觉上来说一个集合的维数是描述这个集合中…
复底数进制
複底数进制是指底數為虛數或複數的进位制系統。 其中，底數為虛數的进位制系統最早由高德纳於1955年提出；底數為複數的进位制系統於1964年由所羅門·I·赫梅利尼克（Solomon I. Khmelnik）和1965年由沃爾特·F·彭尼（Walter F. Penney）提出。 概述 令D為整环\subset \C和|\cdot|為（阿基米德）绝对赋值。 數X\in D在进位制系統中可以表示為： : X = \pm \sum_{\nu}^…
分形宇宙学
分形宇宙学（），亦作殘形宇宙論，是物理宇宙学中的一个小眾理论，是一種非主流學說。这一理论认为，宇宙中的物质分布和宇宙结构本身在各个尺度上具有分形结构，分形维数是这一理论的核心问题，即物質的分布及宇宙本身的分形維數是什麼。简而言之，就是利用碎形學這門理論來研究宇宙和物質。 歷史 1987年，盧西亞諾·皮特羅內羅 (Luciano Pietronero) 及其團隊首次嘗試用分形模式模擬星系分佈。隨後十年，隨著編目的星系數量不斷增加，對宇宙大…
分形
|200x200px]] 分形（，源自，有「零碎」、「破裂」之意），又稱-{zh-cn:碎形; zh-tw:分形;}-、殘形，通常被定義為「一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小後的形狀」，即具有自相似的性質。分形在数学中是一种抽象的物体，用于描述自然界中存在的事物。人工分形通常在放大后能展现出相似的形状。分形也被称为扩展对称或展开对称。如果在每次放大后，形状的重复是完全相同的，这被称为自相似。…
分形维数
在分形几何中，分数维D（即分形维数）是一个描述一个分形对空间填充程度统计量。分数维没有统一的定义。主要的分数维定义方法有豪斯多夫维数、计盒维数和分配维数等。 公式 D = {{\log N} \over {\log {1 \over r}}}
以豪斯多夫维度排序的分形列表
据本华·曼德博所说：“分形的定义是豪斯多夫-贝西科维奇维度严格大于拓扑维度的集合。” 本文的分形列表以豪斯多夫维度升序排列，展示所谓分形维度的意义。 定分形 随机及自然分形 另见 分形维数 豪斯多夫维数 标度不变 注释与参考文献 阅读更多 外部链接 [http://mathworld.wolfram.com/search/?query=fractal The fractals on Mathworld] [https://web.arc…
逻辑斯谛映射
單峰映射（）是種二次多項式的映射（遞迴關係式），是一個由簡單非線性方程式產生混沌現象的經典範例。這種映射因生物學家Robert May在1976年發表的一篇論文而著名，一定程度上是离散时间的種群/人口模型，類似於的逻辑斯谛函数。。單峰映射實質上是邏輯斯諦函數的差分方程，其數學表達為： :x_{n+1} = r x_n (1-x_n) 其中 x_n是介於0和1之間的數，表示當前種群数量/人口數量與环境承载力的比值。 r是正整數，是根據繁殖…
謝爾賓斯基三角形
是log(3)/log(2) ≈ 1.585。]] 謝爾賓斯基三角形（）是一個碎形;}-，在二十世紀初以波蘭數學家瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基命名，但這類圖案曾廣泛地出現十三世紀式的石雕裝飾上。它是自相似集的例子。 構造 去掉中心 取一個實心的三角形。（多數使用等邊三角形） 沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形。 去掉中間的那一個小三角形。 對其餘每個三個小三角形重複1。 取其他形狀，如一個正方形，用類似的方法構造，也會得到類近謝爾賓斯基三角…
佛像分形
佛像分形是一个曼德博集合的分形呈现技术。它的名称反映了它给人一种佛像的错觉，仿佛是释迦牟尼佛，以冥想的姿势坐着，前额有一标记并戴着传统的头饰。 外部链接 *
霍夫施塔特蝴蝶
在凝聚态物理学中，霍夫施塔特蝴蝶（），又称霍夫斯塔特蝴蝶，侯世达蝴蝶，指的是在周期性势能和外部磁场的共同作用下，二维晶格中电子的能量谱所表现出的蝴蝶状图案。1976年，侯世達在他的博士论文中描述了这一能量谱分形和自相似的特点；这张谱图也成为了现代科学数据可视化的早期范例之一。正如侯世达所写道的：“（图中的）巨大能隙形成了一种非常引人注目的图案，有点类似蝴蝶{{#tag:ref|原文：“the large gaps [in the gra…
英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度
《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》（），是由法國、美國數學家本華·曼德博（）撰寫的論文，最初在1967年於《科學》發表。在這篇論文內曼德博討論了維度於1和2之間的自相似曲線。雖然曼德博沒有使用分形（fractal）這個詞彙，惟這些曲線均為分形。 論文的首部分，曼德博討論了英國數學家刘易斯·弗赖伊·理查森對海岸線與其他自然地理邊界的測量出來的長度如何依賴測量尺度的研究。理查森觀察到，不同國家邊界測量出來的長度L(G)是測量尺度G…
门格海绵
门格海绵（、）是分形的一种。它是一个通用曲线，因为它的拓扑维数为一，且任何其它曲线或图都与门格海绵的某个子集同胚。它有时称为门格-谢尔宾斯基海绵或谢尔宾斯基海绵。它是康托尔集和谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广。它首先由奥地利数学家卡爾·門格爾在1926年描述，当时他正在研究拓扑维数的概念。 结构 门格海绵的结构可以用以下方法形象化： 从一个正方体开始。（第一张图像） 把正方体的每一个面分成9个正方形。这将把正方体分成27个小正方体，像魔方…
曼德博集合
曼德博集合（，或译為曼德布洛特复数集合）是一种在复平面上组成分形的点的集合，以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亚集合有些相似的地方，例如使用相同的复二次多项式來进行迭代。 定义 曼德博集合可以用複二次多项式来定义： :f_c(z) = z^2 + c \, 其中 c 是一个复数參数。 从 z = 0 开始对 f_c(z) 进行迭代： :z_{n+1} = {z_n}^2 + c, n=0,1,2,... :z_0 = 0 …
大自然的分形几何学
《大自然的分形几何学》（英文：The Fractal Geometry of Nature）是法裔美国数学家，分形理论的奠基者本華·曼德博于1982年出版的一本书。 概述 1975年，本華·曼德博出版了法文版书Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension，1977年译至英文版Fractals: Form, Chance and Dimension，并作了修改和增补。随后在1982年，经过…
L系統
Lindenmayer系統，簡稱L系統，是由荷兰烏特勒支大學的生物学和植物学家，匈牙利裔的阿里斯蒂德·林登麦伊尔（Aristid Lindenmayer）於1968年提出的有关生长发展中的细胞交互作用的数学模型，尤其被廣泛應用於植物生長過程的研究。 L-system是一系列不同形式的正规语法规则，多被用于植物生长过程建模，但是也被用于模拟各种生物体的形态。L-system也能用于生成自相似的分形，例如迭代函数系统。 起源 作为一位生物学…
迭代函数
在数学中，迭代函数是在碎形和动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数，这个过程叫做迭代。 定义 在集合 X 上的迭代函数的形式定义为: 设 X 是集合和 f:X\rightarrow X 是函数。定义 f 的 n 次迭代 f^n 为 f^0=\operatorname{id}_X 而 f^{n+1} = f \circ f^n，这里的 \operatorname{id}_X 是在 X 上的恒等函数。 在上述中，f \c…
赫斯特指数
赫斯特指数（）以英国水文学家命名，起初被用来分析水库与河流之间的进出流量，后来被广泛用于各行各业的分形分析。利用Hurst参数可以表征网络流量的自相似性，Hurst参数越大，说明流量的自相似程度就越高，也就是说网络的业务流量在很长的时间内都具有长相关性，这主要是由于网络流量的突发性造成的。现有的文献给出的估计方法主要是两大类：时域法和频域法，其中时域法包括R/S分析法、时间方差图法、IDC法，频域法包括Whittle的最大似然估计、小波…
牛顿分形
牛顿分形（）是将牛顿法应用于一给定多项式或超越函数而得到的复平面上的一个边界集。它是由牛顿法所定义的亚纯函数的朱利亚集。当不存在吸引循环（阶数大于1）时，它将复平面划分为不同的区域，每个区域与多项式的根相关联，其中。此时牛顿分形类似于曼德博集合，并且与其他分形一样，它将简单的数学描述变成了非常繁复的图像。从数值分析的角度而言，牛顿分形表现出牛顿法在二次收敛区域之外对于初始点的选择非常敏感。 将复平面上的某一点作为牛顿法迭代的初始点，可以…
H树
在分形几何中，H树（）是一种分形树结构，由互相垂直的线段构成，其中任意一条线段的长度都是次一级线段的\sqrt{2}倍。它因类似于字母“H”的重复图案而得名。它的豪斯多夫维数为2，能任意接近矩形中的每一点。其应用包括超大规模集成电路设计和微波工程。 构造 H树可从任意长度的线段开始构造，首先在该线段的两个端点作出两条垂线，如此反复，同时将每级绘制的线段长度缩短\sqrt{2}倍。 另一种生成相同分形集的方法是从一个边长比为1:\sqrt…