迭代函数

在数学中，迭代函数是在碎形和动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数，这个过程叫做迭代。

定义
在集合 X 上的迭代函数的形式定义为:

设 X 是集合和 f:X\rightarrow X 是函数。定义 f 的 n 次迭代 f^n 为 f^0=\operatorname{id}_X 而 f^{n+1} = f \circ f^n，这里的 \operatorname{id}_X 是在 X 上的恒等函数。

在上述中，f \circ g 指示函数复合；就是说 (f \circ g)(x)=f(g(x))。

換句話說，迭代函数也可以表示為以下的形式：

:f^n(x)={\underbrace{f(f(f(...f(f}_n}(x))...)))

f^0(x)定義為x。

f^{-n}(x)定義為f^n(x)的反函數。（如果f^n(x)的反函數不存在，則f^{-n}(x)也不存在）

因此，f^1(x)就是f(x)，f^2(x)是f(f(x))，f^0(x)是恆等函數x，f^{-1}(x)是f(x)的反函數（如果存在的話），而f^{\frac{1}{2}}(x)就是能夠使得合成函數g(g(x))正好是f(x)的函數g(x)。

注意，一般情況下，f^n(x)並不等於(f(x))^n或f(x^n)，而例如\sin^{-1}(x)是\sin(x)的反函數，亦即\arcsin(x)，而不是\frac{1}{\sin(x)}=\csc(x)。

例
一些特殊函數的冪次為（其中a、b、n可為任意複數，亦即a,b,n\in\mathbb{C}）：

f(x)=a，f^n(x)=a \text{ if } n \in \mathbb{R} \and n > 0, f^n(x)=x \text{ if } n = 0（在n是負實數或虛數的時候並沒有定義，就好比0^n在n是負實數或虛數的時候也沒有定義）

f(x)=x+a，f^n(x)=x+na

f(x)=ax，f^n(x)=a^nx

f(x)=x^a，f^n(x)=x^{a^n}（注意迭代冪次要由右往左算）

f(x)=ax+b，f^n(x)=a^nx+\frac{a^n-1}{a-1}b（a \neq 1）

f(x)=bx^a，f^n(x)=b^{\frac{a^n-1}{a-1}}x^{a^n}（a \neq 1）

（注意任何非零複數的任何複數次方都有定義：a^n=e^{n\ln a}=e^{\text{Re}(n\ln a)}(\cos(\text{Im}(n\ln a)+i\sin(\text{Im}(n\ln a))，當a為負實數或虛數時，\ln(a)=\ln(|a|)+i\text{arg}(a)，其中|a|為複數a的絕對值，\text{arg}(a)為複數a的主幅角，\text{Re}(a)為複數a的實部，\text{Im}(a)為複數a的虛部）

函數冪亦有類似指數律的定理，其中m、n可為任意複數，亦即m,n\in\mathbb{C}：

f^m(f^n(x))=f^{m+n}(x)

(f^m)^n(x)=f^{mn}(x)

注意函數的合成是不可交換的（gf(x)並不一定等於fg(x)）但因為可結合（h(gf)(x)一定等於(hg)f(x)），所以會符合冪結合性，因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。

這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數，以及階乘運算跟排列組合運算P^m_n、C^m_n拓展到非整數和負數時（使用伽瑪函數）一樣，二項式定理也可以用這種方式拓展到負整數、分數、無理數、複數，只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已，包括矩陣的n次方以及微分n次（n為負整數時等同於積分-n次），也都可以用這種方式，把n拓展到任意複數，或例如已知「首項」、「公差/公比」、「項數」的等差數列或等比數列要求出全部項的和或乘積的公式，也都可以用這種方式，拓展到項數為負整數、分數、無理數、複數的情況（包括一般的\sum^n_{x=m}f(x)與\prod^n_{x=m}f(x)中，f(x)為常見的函數如多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數的時候，m跟n也能拓展到任意複數，就跟積分式\int^n_m f(x)一樣），至於超運算a[n]b能不能拓展到分數、無理數或複數，則是數學中未解決的問題之一。

从迭代建立序列
函数 f^n 的序列叫做 Picard 序列，得名于埃米尔·皮卡。对于一个给定 x \in X，f^n(x) 的值的序列叫做 x 的轨道。

如果对于某个整数 m 有 f^n(x) = f^{n+m}(x)，则轨道叫做周期轨道。对于给定 x 最小的这种 m 值叫做轨道的周期。点 x 自身叫周期点。

不动点
如果m=1，就是说如果对于某个X中的x有f(x) = x，则x被称为迭代序列的不动点。不动点的集合经常指示为Fix（f）。存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性，包括巴拿赫不动点定理和Brouwer不动点定理。

有很多技术通过产生了序列收敛加速。例如，应用于一个迭代不动点的Aitken方法叫做Steffensen方法，生成二次收敛。
不动点理论同样也适用于经济学领域。

极限行为
通过迭代，可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下，会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说，迭代也可以表现得从一个单一点发散；这种情况叫不稳定不动点。

当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候，轨道的会聚点的集合叫做极限集合或 ω-极限集合。

吸引和排斥的想法类似推广；依据在迭代下小邻域行为，可把迭代分类为稳定集合和不稳定集合。

其他极限行为也有可能；比如，游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。

例子
著名的迭代函数包括曼德博集合和迭代函数系统。

如果 f 是一个群元素在一个集合上的作用，则迭代函数对应于自由群。

参见
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引用
Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction*, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7