极小化极大算法
Minimax算法（亦稱 MinMax or MM）又名极小化极大算法，是一种找出失败的最大可能性中的最小值（最小化最坏情况）的算法。 概述 Minimax算法常用于棋类等由两方较量的游戏和程序。该算法是一个零总和算法，即一方要在可选的选项中选择将其优势最大化的选择，另一方则选择令对手优势最小化的方法。而开始的时候总和为0。很多棋类游戏可以采取此算法，例如井字棋（tic-tac-toe）。 偽代碼 function minimax(no…
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共 15 篇文章
洛特卡-沃爾泰拉方程
洛特卡－沃爾泰拉方程（）別稱掠食者—獵物方程。是一个二元一階非線性微分方程組成。經常用來描述生物系統中，掠食者與獵物進行互動時的动态模型，也就是兩者族群規模的消長。此方程分別在1925年與1926年，由阿弗雷德·洛特卡與維多·沃爾泰拉獨立發表。 :\frac{dx}{dt} = x(\alpha - \beta y) :\frac{dy}{dt} = - y(\gamma - \delta x) *y 是掠食者（如狼）的數量； *x 是…
布勞威爾不動點定理
证明了与布劳威尔不动点定理等价的一个定理。定理在三维空间情况下的确切叙述由皮耶·波尔在1904年证明，而一般情况下的定理有雅克·阿达马在1910年证明。魯伊茲·布勞威爾在1912年提出了一个新的证明方法。]] 在数学中，布勞威爾不动点定理（）是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布勞威爾不动点定理得名于荷兰数学家魯伊茲·布勞威爾。 布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连…
最小不动点
在数学分支序理论中，函数的最小不动点（）是按照某种偏序小于等于其他不动点的不动点。 例如，如下实函数的最小不动点 :f(x)=x^2 是在实数的通常次序上的 x = 0。有很多不动点定理生成定位最小不动点的算法。最小不动点通常有着合意的性质，是任意的不动点所没有的。 在数理逻辑中，最小不动点常与做递归定义有关。这导致了的结果，复杂性类 P（在多项式数量的计算时间内可计算的所有问题）精确的等价于可以用带有最小不动点的一阶逻辑所表达的语言的…
不动点组合子
不动点组合子（，或不动点算子）是计算其他函数的一个不动点的高阶函数。 函数 f 的不动點是將函數應用在輸入值 x 時，會傳回與輸入值相同的值，使得 f(x) = x。例如，0 和 1 是函数 f(x) = x2 的不动点，因为 02 = 0 而 12 = 1。鉴于一阶函数（在简单值比如整数上的函数）的不动点是个一阶值，高阶函数 f 的不动点是另一个函数 g 使得 f(g) = g。那么，不动点算子 fix 的定義是 : x = f\ x…
毛球定理
在代数拓扑中，毛球定理（英語：Hairy ball theorem）说明了偶数维单位球面上的连续而又处处不为零的切向量場是不存在的。具体来说，如果 f 是定义在一个单位球面上的连续函数，并且对球面上的每一点 P ，其函数值是一个与球面在该点相切的向量，那么总存在球面上的一点，使得f在该点的值为零。直观上（三维空间中的球面），不存在零点的球面向量场可以想象为一个被“抚平”的“毛球”。而这个定理最著名的通俗陈述也正是“永远不可能抚平一个毛球…
冈布茨
]] 冈布茨（，）是第一个被制造出来的为人所知的具有单单稳态性质的三维凸均勻體，在平面上，单单稳态物体只具有一个稳定和一个不稳定的力学平衡点。1995年俄羅斯數學家弗拉基米爾·阿諾爾德猜想存在這類三維凸均勻體。2006年匈牙利科学家和瓦爾科尼·彼得證明了這類物體存在並構造出來。单单稳态的形态多种多样，它们中大多数都接近圆形并且有着非常严苛的形状公差要求（大约千分之一）。 冈布茨作为第一个被制造出来的单单稳态形状极为出名。它具有如图所示的…
不动点
在数学中，函数的不动点或定点是指被这个函数映射到其自身一个点。例如，定义在实数上的函数f， :f(x)=x^2-3x+4， 则2是函数f的一个不动点，因为f(2)=2。 也不是每一个函数都具有不动点。例如定义在实数上的函数f(x)=x+1就没有不动点。因为对于任意的实数，x永远不会等于x+1。用画图的话来说，不动点意味着点(x,f(x))在直线y=x上，或者换句话说，函数f的图像与那根直线有共点。上例f(x)=x+1的情况是，这个函数的…
迭代函数
在数学中，迭代函数是在碎形和动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数，这个过程叫做迭代。 定义 在集合 X 上的迭代函数的形式定义为: 设 X 是集合和 f:X\rightarrow X 是函数。定义 f 的 n 次迭代 f^n 为 f^0=\operatorname{id}_X 而 f^{n+1} = f \circ f^n，这里的 \operatorname{id}_X 是在 X 上的恒等函数。 在上述中，f \c…
错排问题
错排问题是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D_n或!n。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。 最早研究错排问题的是尼古拉·伯努利和欧拉，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺…
极限点
极限点（）在数学中是指可以被集合S中的点随意逼近的點。 这个概念有益的推广了极限的概念，并且是諸如闭集和拓扑閉包等概念的基础。实际上，一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点，而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。 定义 {{Math theorem | name = 定義 | math_statement = (X,\,\tau) 为拓扑空间 ， A \subseteq X 為X的子集；若對X 的某點x \i…
压缩映射
度量空间(M,d)上的压缩映射（），或压缩，是一个从M到它本身的函数f，存在某个实数0 ，使得对于所有M内的x和y，都有： :d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y). 满足以上条件的最小的k称为f的利普希茨常数。压缩映射有时称为利普希茨映射。如果以上的条件对于所有的0 都满足，则该映射称为非膨胀的。 更一般地，压缩映射的想法可以定义于两个度量空间之间的映射。如果(M,d)和(N,d')是两个度量空间，则我们寻找常数k，使得…
克莱尼不动点定理
在数学中，序理论的克萊尼不動點定理（）指出给定任何完全格 L 和任何具有斯科特连续性的函数 :f: L \to L, f的最小不动点fix(f)存在，如果我们用\bot来表示L内的最小元素，那么fix(f) = \bigsqcup_{i \geq 0}f^{i}(\bot) 证明 我们首先定义集合M = \{\bot, f(\bot), f^{2}(\bot), \ldots\}，为了方便表示，我们用m来表示集合M中最大的元素，即m =…
巴拿赫不动点定理
巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，是度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡·巴拿赫命名的，他在1922年提出了这个定理。 定理 设(X, d)为非空的完备度量空间。设T : X → X为X上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数q d(T(x),T(y)) \le q\cdot d(x,y) 那么映射T在X内有且只有…
克纳斯特-塔斯基定理
在数学领域序理论和格理论中，Knaster–Tarski 定理，得名于 Bronisław Knaster 和阿尔弗雷德·塔斯基，它声称: :设 L 是完全格并设 f : L → L 是次序保持函数。则 f 在 L 中的不动点的集合也是完全格。 这个定理的一种逆命题由 Anne C. Davis 证明了: 如果所有次序保持函数 f : L → L 有不动点，则 L 是完全格。 推論 因为完全格不能是空的，这个定义特别保证 f 的至少一个…