巴拿赫不动点定理

巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，是度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡·巴拿赫命名的，他在1922年提出了这个定理。

定理
设(X, d)为非空的完备度量空间。设T : X → X为X上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数q d(T(x),T(y)) \le q\cdot d(x,y)
那么映射T在X内有且只有一个不动点x（这就是说，Tx* = x*）。更进一步，这个不动点可以用以下的方法来求出：从X内的任意一个元素x0开始，定义一个迭代序列x*n = Txn-1，其中n = 1，2，3，……。那么，这个序列收敛，极限为x*。以下的不等式描述了收敛的速率：

:d(x^*, x_n) \leq \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0).

等价地：

:d(x^*, x_{n+1}) \leq \frac{q}{1-q} d(x_{n+1},x_n)
且
:d(x^, x_{n+1}) \leq q d(x_n,x^).

满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数。

注意对于所有不同的x和y都有d(Tx, Ty) [1,∞) → [1,∞)，T(x) = x + 1/x，就没有不动点。但是，如果空间X是紧的，则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。

当实际应用这个定理时，最艰难的部分通常是如何恰当地定义X，使T把元素从X映射到X，即Tx总是X的一个元素。

证明
选择任何x_0 \in (X, d)。如果Tx_0=x_0，则不必证明；以下设x_1=Tx_0\ne x_0。对于每一个n \in \{2, \ldots\}，定义x_n = Tx_{n-1}\,\!。我们声称对于所有的n \in \{1, 2, \dots\}，以下等式都成立：

::d(x_{n+1}, x_n) \leq q^n d(x_1, x_0)。

我们用数学归纳法来证明。对于n = 1\,\!的情况，命题是成立的，这是因为：

::d(x_{1+1}, x_1) = d(x_2, x_1) = d(Tx_1, Tx_0) \leq qd(x_1, x_0)。

假设命题对于某个k \in \{1, 2, \ldots\}是成立的。那么，我们有：

::

从第三行到第四行，我们用到了归纳假设。根据数学归纳法原理，对于所有的n \in \{1, 2, \ldots\}，以上的命题都成立。

设\epsilon > 0\,\!。由于0 \leq q ，我们便可以找出一个较大的N \in \{1, 2, \ldots\}，使得：

::q^N 。

利用以上的命题，我们便有对于任何m\,\!，n \in \{0, 1, \ldots\}以及m > n \geq N，都有：

::

第一行的不等式可以从三角不等式推出；第四行的级数是一个几何级数，其中0 \leq q ，因此它收敛。以上表明\{x_n\}_{n\geq 0}是(X, d)\,\!内的一个柯西序列，所以根据完备性，它是收敛的。因此设x^ = \lim_{n\to\infty} x_n。我们作出两个声明：第一，x^\,\!是T\,\!的一个不动点，也就是说，Tx^ = x^\,\!；第二，x^*\,\!是T\,\!在(X, d)\,\!中的唯一的不动点。

为了证明第一个命题，我们注意到对于任何的n \in \{0, 1, \ldots\}，都有：

::0 \leq d(x_{n+1}, Tx^) = d(Tx_n, Tx^) \leq q d(x_n, x^*)。

由于当n \to \infty时，qd(x_n, x^) \to 0，因此根据夹挤定理，可知\lim_{n\to\infty} d(x_{n+1}, Tx^) = 0。这表明当n \to \infty时，x_n \to Tx^。但当n \to \infty时，x_n \to x^，且极限是唯一的；因此，一定是x^ = Tx^\,\!的情况。

为了证明第二个命题，我们假设y\,\!也满足Ty = y\,\!。那么：

::0 \leq d(x^, y) = d(Tx^, Ty) \leq q d(x^*, y)。

由于0 \leq q ，因此上式意味着0 \leq (1-q) d(x^, y) \leq 0，这表明d(x^, y) = 0\,\!，于是根据正定性，x^* = y\,\!，定理得证。

逆定理
巴拿赫不动点定理有许多逆定理，以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的：

设f:X\rightarrow X为一个抽象集合的映射，使得每一个迭代f n都有一个唯一的不动点。设q为一个实数，0 < q < 1。那么存在X上的一个完备度量，使得f是压缩映射，且q是压缩常数。

推广
一个有趣的事实是，若把某国的地图缩小后印在该国领土内部，那么在地图上有且仅有这样一个点，它在地图中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。证明如下：

• 为了方便起见，这里把地球近似看作是正球体。
• 首先，按照经纬度可以给地球表面上每一个点标出坐标 (x, y)，其中前元是经度、后元是纬度。又定义地面上任意两点间的距离 d(A, B) 是 A 到 B 间大圆弧的弧长。
• 其次，把这国家的地图上的点按照其所代表点的实际经纬度标出坐标 (u, v)。
• 那么对于地图上任意一点 P 而言，它既在地图上表示地点 (up, vp)，又实际在地面上占有点 (xp, yp)。显然，这构成了从集合 S={P|P 是地面上的点且 P 属于该国领土} 到其本身的映射，现记作 M(P)=M((xp, yp))=(up, vp)。
• 又因为地图是缩小的，即对于任意两个地点 A∈S、B∈S 而言，d(A, B)>d(M(A), M(B))，也即 M(P) 是一个压缩映射。
• 事实上，取实数 k>1 作为地图比例尺的分母、即 1:k，那么由比例尺的定义知 d(A, B)=kd(M(A), M(B))，两边同除以 k 得 d(A, B)*(1/k)=d(M(A), M(B))。换言之，存在实数 q=1/k<1 满足对于 S 内所有的 A 和 B，d(M(A), M(B))≤qd(A, B)，这里等号总是成立。
• 现在将 S 视为以 d 为度量的空间，那么它显然是一个完备度量空间。
• 根据巴拿赫不动点定理，M 在 S 内有且仅有一个不动点，即该点恰好被印在它所表示的土地位置上。Q.E.D.

关于巴拿赫不动点定理的推广，请参见无穷维空间中的不动点定理。

参考文献

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.
• Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.

*

• William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.
• [http://bourbawiki.no-ip.org Bourbawiki]上[https://archive.today/20121221140350/http://nfist.ist.utl.pt/~edgarc/wiki/index.php/Banach_fixed_point_theorem 巴拿赫不动点定理的证明]